Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{2 s+1}{s\left(s^{2}+9\right)};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2s+1}{s\bigl(s^{2}+9\bigr)}.
O conteúdo principal é a transformada inversa de Laplace usando decomposição em frações parciais e a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+a^{2})\}=\cos(at) e \mathcal{L}^{-1}\{a/(s^{2}+a^{2})\}=\sin(at).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais assumindo
\frac{2s+1}{s(s^{2}+9)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+9), obtemos
2s+1 = A\bigl(s^{2}+9\bigr) + (Bs+C)\,s.
Isso dá o polinômio
2s+1 = (A+B)\,s^{2} + C\,s + 9A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C = 2,\\\\ 9A = 1, \end{cases}
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A = \tfrac{1}{9},\quad B = -\tfrac{1}{9},\quad C = 2.

Passo 3

Substituindo A,B,C na decomposição, fica
F(s) = \frac{\tfrac{1}{9}}{s} + \frac{-\tfrac{1}{9}\,s + 2}{s^{2}+9} = \frac{1}{9}\,\frac{1}{s} -\frac{1}{9}\,\frac{s}{s^{2}+9} +2\,\frac{1}{s^{2}+9}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{9}\,\frac{1}{s}\Bigr\} =\frac{1}{9},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+9}\Bigr\} =\cos(3t),\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+9}\Bigr\} =\frac{1}{3}\sin(3t).
Portanto,
f(t) = \frac{1}{9} -\frac{1}{9}\cos(3t) +2\cdot\frac{1}{3}\sin(3t) = \frac{1}{9} -\frac{1}{9}\cos(3t) +\frac{2}{3}\sin(3t).

Resposta

f(t)=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}\cos(3t)+\frac{2}{3}\sin(3t).

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