Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+4\right)};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s\bigl(s^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo aqui é o uso de frações parciais para depois aplicar pares de transformadas conhecidas.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{1}{s(s^{2}+4)} = \frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+4) fica
1 = A\bigl(s^{2}+4\bigr)+(Bs+C)\,s.
Escolhendo s=0 obtemos
1 = 4A \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
Comparando coeficientes de s^2 e de s em
1 = (A+B)s^2 + C\,s + 4A
A+B=0\\ \Rightarrow\\ B=-\tfrac14, \qquad C=0.
Logo
\frac{1}{s(s^2+4)} = \frac{1}{4s}-\frac{1}{4}\,\frac{s}{s^2+4}.

Passo 3

Agora usamos que
\mathcal L^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s}\bigr\}=1, \qquad \mathcal L^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^2+4}\bigr\}=\cos(2t).
Pela linearidade,
f(t) =\mathcal L^{-1}\{F(s)\} =\tfrac{1}{4}\cdot1 -\tfrac{1}{4}\cos(2t) =\frac{1-\cos(2t)}{4}.

Resposta

f(t)=\frac{1-\cos(2t)}{4},\quad t\ge0.

Exercícios relacionados