Seja S o conjunto aberto consistindo em todos os pontos
tais que
ou
. Explique por que
não é conexo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto aberto
e pede para mostrar que
não é conexo. O conteúdo aqui é topologia de
: um conjunto é conexo se não puder ser escrito como união de dois abertos disjuntos e não vazios.
Passo 2
Definimos
Então
. Cada um desses discos é um aberto em
, pois é pré-imagem de um intervalo aberto pela função contínua
(ou
).
Passo 3
Mostramos que
e
são disjuntos e não vazios.
- Claramente
, logo . - Claramente
, logo . - Se existisse
, teríamos simultaneamente e . Pela desigualdade triangular reversa,
o que é absurdo, pois
. Portanto
.
Passo 4
Como
com
e
abertos em
, não vazios e disjuntos, isso é precisamente uma separação de
. Logo
não é conexo.