Seja S o conjunto aberto consistindo em todos os pontos z tais que |z|<1 ou |z-2|<1. Explique por que S não é conexo.

Passo 1

O enunciado define o conjunto aberto
S = \{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|<1\}\;\cup\;\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-2|<1\}
e pede para mostrar que S não é conexo. O conteúdo aqui é topologia de \mathbb{C}: um conjunto é conexo se não puder ser escrito como união de dois abertos disjuntos e não vazios.

Passo 2

Definimos
U = \{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|<1\} \quad\text{e}\quad V = \{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-2|<1\}.
Então S = U\cup V. Cada um desses discos é um aberto em \mathbb{C}, pois é pré-imagem de um intervalo aberto pela função contínua z\mapsto|z| (ou z\mapsto|z-2|).

Passo 3

Mostramos que U e V são disjuntos e não vazios.
  1. Claramente 0\in U, logo U\neq\emptyset.
  2. Claramente 2\in V, logo V\neq\emptyset.
  3. Se existisse z\in U\cap V, teríamos simultaneamente |z|<1 e |z-2|<1. Pela desigualdade triangular reversa,
|2| = |\,z-(z-2)\,|\le |z| + |z-2| < 1 + 1 = 2,
o que é absurdo, pois |2|=2. Portanto U\cap V=\emptyset.

Passo 4

Como S=U\cup V com U e V abertos em \mathbb{C}, não vazios e disjuntos, isso é precisamente uma separação de S. Logo S não é conexo.

Resposta

S é a união de dois discos abertos disjuntos, então admite separação em dois abertos não vazios, logo não é conexo.

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