1. Encontre o valor médio da função f(r, \theta, z)=r sobre a região delimitada pelo cilindro r=1 entre os planos z=-1 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede a média da função
f(r,\theta,z)=r
sobre a região D descrita em coordenadas cilíndricas por
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -1 \le z \le 1.
O conteúdo é valor médio de função via integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A fórmula do valor médio é
\bar f \;=\;\frac{1}{\mathrm{Vol}(D)}\iiint_{D}f\,dV.
Em coordenadas cilíndricas usamos
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Calculamos o numerador da média:
\iiint_{D}f\,dV =\int_{z=-1}^{1}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{1}r\cdot r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{-1}^{1}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^2\,dr\,d\theta\,dz.
Como \displaystyle\int_{0}^{1}r^2\,dr=\tfrac{1}{3}, \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi e \displaystyle\int_{-1}^{1}dz=2,
segue que
\iiint_{D}f\,dV =2\cdot2\pi\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{4\pi}{3}.

Passo 4

Calculamos o volume de D:
\mathrm{Vol}(D) =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta\,dz =\Bigl(\tfrac12\Bigr)\cdot2\pi\cdot2 =2\pi.

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
\bar f =\frac{\tfrac{4\pi}{3}}{2\pi} =\frac{2}{3}.

Resposta

O valor médio de f sobre a região é \displaystyle \tfrac{2}{3}.

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