1. Encontre o valor médio da função f(\rho, \varphi, \theta)=\rho sobre a esfera sólida \rho \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(\rho,\varphi,\theta)=\rho sobre a esfera sólida definida por \rho\le1. O conteúdo aqui é cálculo de valor médio de função em regiões de \mathbb R^3 usando coordenadas esféricas. Vamos usar a fórmula
\bar f = \frac{1}{\mathrm{Vol}(D)}\int_{D}f\,dV
onde D é a bola unitária.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
e o volume da bola unitária é
\mathrm{Vol}(D)=\frac{4\pi}{3}.
Portanto
\bar f = \frac{1}{4\pi/3}\int_{D}\rho\,dV.

Passo 3

O integral torna-se
\int_{D}\rho\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{1} \rho\;\rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho.

Passo 4

Calculando cada parte: \displaystyle\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho=\frac{1}{4}, \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2, \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando,
\int_{D}\rho\,dV = 2\pi\times2\times\frac{1}{4} = \pi.

Passo 5

Logo o valor médio é
\bar f = \frac{1}{4\pi/3}\,\pi =\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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