Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função e o intervalo e pede os extremos globais (máximo e mínimo absolutos) nesse intervalo.
- Função dada:
. - Intervalo dado:
.
Pergunta a responder: encontrar os valores de máximo absoluto e mínimo absoluto de
no intervalo fechado
; isto é, dizer em que pontos da reta esses extremos ocorrem e quais são os valores de
nesses pontos.
Passo 2
Plano de solução (explicação didática do que faremos):
- Como
é um polinômio, ela é contínua em todo , logo em particular é contínua e atinge máximo e mínimo em qualquer intervalo fechado (teorema de Weierstrass). - Os candidatos a extremos absolutos numa função contínua em intervalo fechado são: (i) pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) dentro do intervalo aberto, e (ii) os extremos nos pontos de fronteira (os endpoints
e ). - Então vou calcular a derivada
, achar os pontos onde , selecionar os que estão em , e avaliar nesses pontos e nos endpoints. O maior valor obtido será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Explicando o porquê: a derivada
dá a inclinação da reta tangente a
em cada ponto; pontos com inclinação zero são onde a função pode ter picos ou vales locais (ou pontos de sela). Como queremos extremos globais num intervalo fechado, comparamos os valores em todos esses candidatos.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo.
A função é
.
Derivando termo a termo (regra:
):
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
e verificar se há pontos onde
não existe (aqui
existe para todo
).
Equação para resolver:
Dividindo ambos os lados por
(operações válidas):
Dos dois candidatos
e
, somente
pertence ao intervalo dado
. Logo os pontos a testar são
(ponto crítico),
(end point),
(end point).
Passo 5
Avaliar
nos pontos candidatos. Fazer as contas detalhadas para poder conferir na prova sem calculadora.
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Portanto os valores obtidos são:
-
, -
, -
.
Passo 6
Comparar os valores para identificar máximo e mínimo absolutos:
- O maior valor entre
é , obtido em . Logo há um máximo absoluto em com valor . - O menor valor entre
é , obtido em . Logo há um mínimo absoluto em com valor .
Complemento (classificação do ponto crítico): se quiser confirmar que
é realmente um máximo local, pode-se olhar a segunda derivada:
o que indica concavidade voltada para baixo em
e portanto um máximo local; combinando isso com o teste global (comparação de valores) confirma que é máximo absoluto no intervalo.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto:
em