Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
f(x)=-2 x^{3}+54 x+5, \quad x \in[0,4].

Passo 1

O enunciado fornece a função e o intervalo e pede os extremos globais (máximo e mínimo absolutos) nesse intervalo.
  • Função dada: f(x) = -2 x^{3} + 54 x + 5.
  • Intervalo dado: x \in [0,4].
Pergunta a responder: encontrar os valores de máximo absoluto e mínimo absoluto de f no intervalo fechado [0,4]; isto é, dizer em que pontos da reta esses extremos ocorrem e quais são os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Plano de solução (explicação didática do que faremos):
  • Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}, logo em particular é contínua e atinge máximo e mínimo em qualquer intervalo fechado (teorema de Weierstrass).
  • Os candidatos a extremos absolutos numa função contínua em intervalo fechado são: (i) pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) dentro do intervalo aberto, e (ii) os extremos nos pontos de fronteira (os endpoints x=0 e x=4).
  • Então vou calcular a derivada f'(x), achar os pontos onde f'(x)=0, selecionar os que estão em [0,4], e avaliar f nesses pontos e nos endpoints. O maior valor obtido será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Explicando o porquê: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente a f em cada ponto; pontos com inclinação zero são onde a função pode ter picos ou vales locais (ou pontos de sela). Como queremos extremos globais num intervalo fechado, comparamos os valores em todos esses candidatos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo.
A função é f(x) = -2 x^{3} + 54 x + 5.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}(a x^{n}) = a n x^{n-1}):
f'(x) = \dfrac{d}{dx}\big(-2 x^{3}\big) + \dfrac{d}{dx}\big(54 x\big) + \dfrac{d}{dx}(5).
f'(x) = -2\cdot 3 x^{2} + 54\cdot 1 + 0 = -6 x^{2} + 54.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificar se há pontos onde f' não existe (aqui f' existe para todo x).
Equação para resolver:
-6 x^{2} + 54 = 0.
Dividindo ambos os lados por -6 (operações válidas):
x^{2} - 9 = 0.
x^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 3.
Dos dois candidatos x=-3 e x=3, somente x=3 pertence ao intervalo dado [0,4]. Logo os pontos a testar são x=3 (ponto crítico), x=0 (end point), x=4 (end point).

Passo 5

Avaliar f nos pontos candidatos. Fazer as contas detalhadas para poder conferir na prova sem calculadora.
Avaliar em x=0:
f(0) = -2\cdot 0^{3} + 54\cdot 0 + 5 = 5.
Avaliar em x=3:
\text{Calcular }-2\cdot 3^{3} = -2\cdot 27 = -54,
54\cdot 3 = 162,
f(3) = -54 + 162 + 5 = 108 + 5 = 113.
Avaliar em x=4:
\text{Calcular }-2\cdot 4^{3} = -2\cdot 64 = -128,
54\cdot 4 = 216,
f(4) = -128 + 216 + 5 = 88 + 5 = 93.
Portanto os valores obtidos são:
  • f(0)=5,
  • f(3)=113,
  • f(4)=93.

Passo 6

Comparar os valores para identificar máximo e mínimo absolutos:
  • O maior valor entre 5, 113, 93 é 113, obtido em x=3. Logo há um máximo absoluto em x=3 com valor f(3)=113.
  • O menor valor entre 5, 113, 93 é 5, obtido em x=0. Logo há um mínimo absoluto em x=0 com valor f(0)=5.
Complemento (classificação do ponto crítico): se quiser confirmar que x=3 é realmente um máximo local, pode-se olhar a segunda derivada:
f''(x) = \dfrac{d}{dx}(-6x^{2}+54) = -12x.
f''(3) = -36 < 0,
o que indica concavidade voltada para baixo em x=3 e portanto um máximo local; combinando isso com o teste global (comparação de valores) confirma que é máximo absoluto no intervalo.

Resposta

Máximo absoluto: f(3)=113 em x=3
Mínimo absoluto: f(0)=5 em x=0

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