(Taylor com Resto Integral de segunda ordem) Para
, determine a expansão de Taylor de segunda ordem com resto integral em torno de
. Ou seja, escreva
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Taylor de segunda ordem com resto integral de
em torno do ponto
. Ou seja, escrever
onde
. Neste passo eu apenas explico o que é pedido e listo os objetos que vamos calcular:
- o valor
; - o gradiente
e seu valor em ; - a matriz Hessiana
em e o termo quadrático ; - a forma integral do resto
(a forma que envolve a derivada terceira ao longo do segmento , ).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente). Para isso derivamos
em relação a
e a
:
Portanto o gradiente é
Avaliando em
(isto é, substituindo
e
) obtemos
Interpretação rápida: o termo linear da expansão será
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas segundas para formar a matriz Hessiana. Derivando as componentes do gradiente:
Logo a Hessiana é a matriz simétrica
Avaliando em
dá
O termo quadrático é então
Fazendo a multiplicação (mostro passo a passo):
portanto
Passo 4
Agora explico a forma integral do resto de ordem dois. Para funções suficientemente lisas
vale a forma de Taylor com resto em forma integral (versão multivariada, polinômio de grau
):
onde a derivada terceira aparece no resto como
Breve comentário didático:
é a aplicação multilinear simétrica que avalia a terceira derivada em
nas direções
. Para polinômios isso é perfeitamente bem definido e resulta em um polinômio em
multiplicado por componentes de
.
Passo 5
Vamos calcular explicitamente
e escrever
para o nosso
. As derivadas parciais terciras necessárias são:
Como
é completamente simétrica, a ação trílinar em
é (fórmula com os coeficientes binomiais usuais):
Substituindo os valores das terciras obtém-se, em um ponto
,
Para a integral do resto precisamos avaliar isto ao longo do segmento
. Portanto
Finalmente, a forma integral do resto é
Observação prática: pode deixar o resto exatamente nessa forma integral (é a forma pedida). Se quiser um polinômio explícito em
, dá para desenvolver as potências em
, integrar termo a termo e simplificar; fazendo isso (operação algébrica direta) obtém-se a forma polinomial
que é algebraicamente equivalente à forma integral acima (é apenas o resultado da integração e simplificação).
Passo 6
Juntando tudo: o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de
é
com
dado pela forma integral do Passo 5 (ou pela forma polinomial explícita acima). Isso responde o que foi pedido:
,
,
e o resto em forma integral.