(Taylor com Resto Integral de segunda ordem) Para f(x, y)= x^{3} y^{2}, determine a expansão de Taylor de segunda ordem com resto integral em torno de (1,1). Ou seja, escreva
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h}+\frac{1}{2} \mathbf{h}^{T} H_{f}(\mathbf{a}) \mathbf{h}+R_{2}

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de segunda ordem com resto integral de
f(x,y)=x^{3}y^{2}
em torno do ponto \mathbf{a}=(1,1). Ou seja, escrever
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^{T}H_{f}(\mathbf{a})\mathbf{h}+R_{2},
onde \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}). Neste passo eu apenas explico o que é pedido e listo os objetos que vamos calcular:
  • o valor f(\mathbf{a});
  • o gradiente \nabla f e seu valor em \mathbf{a};
  • a matriz Hessiana H_{f} em \mathbf{a} e o termo quadrático \tfrac{1}{2}\mathbf{h}^{T}H_{f}(\mathbf{a})\mathbf{h};
  • a forma integral do resto R_{2} (a forma que envolve a derivada terceira D^{3}f ao longo do segmento \mathbf{a}+t\mathbf{h}, t\in[0,1]).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente). Para isso derivamos f(x,y)=x^{3}y^{2} em relação a x e a y:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}y^{2},\;2x^{3}y\bigr).
Avaliando em \mathbf{a}=(1,1) (isto é, substituindo x=1 e y=1) obtemos
f(1,1)=1^{3}\cdot1^{2}=1, \qquad \nabla f(1,1)=(3\,,\,2).
Interpretação rápida: o termo linear da expansão será (3,2)\cdot(h_{1},h_{2})=3h_{1}+2h_{2}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas segundas para formar a matriz Hessiana. Derivando as componentes do gradiente:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6xy^{2},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2x^{3}.
Logo a Hessiana é a matriz simétrica
H_{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 6xy^{2} & 6x^{2}y\\[4pt] 6x^{2}y & 2x^{3} \end{pmatrix}.
Avaliando em \mathbf{a}=(1,1)
H_{f}(1,1)=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix}.
O termo quadrático é então
\frac{1}{2}\mathbf{h}^{T}H_{f}(1,1)\mathbf{h} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}h_{1} & h_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação (mostro passo a passo):
\begin{pmatrix}h_{1} & h_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix} =6h_{1}^{2}+12h_{1}h_{2}+2h_{2}^{2},
portanto
\frac{1}{2}\mathbf{h}^{T}H_{f}(1,1)\mathbf{h} =3h_{1}^{2}+6h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}.]

Passo 4

Agora explico a forma integral do resto de ordem dois. Para funções suficientemente lisas f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} vale a forma de Taylor com resto em forma integral (versão multivariada, polinômio de grau 2):
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+Df(\mathbf{a})[\mathbf{h}]+\frac{1}{2}D^{2}f(\mathbf{a})[\mathbf{h},\mathbf{h}]+R_{2},
onde a derivada terceira aparece no resto como
R_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-t)^{2}\,D^{3}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})[\mathbf{h},\mathbf{h},\mathbf{h}]\,dt.
Breve comentário didático: D^{3}f(\mathbf{z})[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] é a aplicação multilinear simétrica que avalia a terceira derivada em \mathbf{z} nas direções \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}. Para polinômios isso é perfeitamente bem definido e resulta em um polinômio em \mathbf{z} multiplicado por componentes de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.

Passo 5

Vamos calcular explicitamente D^{3}f e escrever R_{2} para o nosso f. As derivadas parciais terciras necessárias são:
\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}=6y^{2},\qquad \frac{\partial^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}=12xy,\qquad \frac{\partial^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}=6x^{2},\qquad \frac{\partial^{3}f}{\partial y^{3}}=0.
Como D^{3}f é completamente simétrica, a ação trílinar em \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}) é (fórmula com os coeficientes binomiais usuais):
D^{3}f(x,y)[\mathbf{h},\mathbf{h},\mathbf{h}] = f_{xxx}h_{1}^{3}+3f_{xxy}h_{1}^{2}h_{2}+3f_{xyy}h_{1}h_{2}^{2}+f_{yyy}h_{2}^{3}.
Substituindo os valores das terciras obtém-se, em um ponto (x,y),
D^{3}f(x,y)[\mathbf{h},\mathbf{h},\mathbf{h}] =6y^{2}h_{1}^{3}+36xy\,h_{1}^{2}h_{2}+18x^{2}h_{1}h_{2}^{2}+0\cdot h_{2}^{3}.
Para a integral do resto precisamos avaliar isto ao longo do segmento \mathbf{a}+t\mathbf{h}=(1+t h_{1},\,1+t h_{2}). Portanto
D^{3}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})[\mathbf{h},\mathbf{h},\mathbf{h}] =6(1+t h_{2})^{2}h_{1}^{3}+36(1+t h_{1})(1+t h_{2})h_{1}^{2}h_{2}+18(1+t h_{1})^{2}h_{1}h_{2}^{2}.
Finalmente, a forma integral do resto é
R_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-t)^{2}\Bigl[\,6(1+t h_{2})^{2}h_{1}^{3} +36(1+t h_{1})(1+t h_{2})h_{1}^{2}h_{2} +18(1+t h_{1})^{2}h_{1}h_{2}^{2}\Bigr]\,dt.
Observação prática: pode deixar o resto exatamente nessa forma integral (é a forma pedida). Se quiser um polinômio explícito em h_{1},h_{2}, dá para desenvolver as potências em t, integrar termo a termo e simplificar; fazendo isso (operação algébrica direta) obtém-se a forma polinomial
R_{2}=h_{1}^{3}+6h_{1}^{2}h_{2}+3h_{1}h_{2}^{2}+2h_{1}^{3}h_{2}+3h_{1}^{2}h_{2}^{2}+h_{1}^{3}h_{2}^{2},
que é algebraicamente equivalente à forma integral acima (é apenas o resultado da integração e simplificação).

Passo 6

Juntando tudo: o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de \mathbf{a}=(1,1) é
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=1+(3,2)\cdot(h_{1},h_{2})+\bigl(3h_{1}^{2}+6h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}\bigr)+R_{2},
com R_{2} dado pela forma integral do Passo 5 (ou pela forma polinomial explícita acima). Isso responde o que foi pedido: f(\mathbf{a}), \nabla f(\mathbf{a}), H_{f}(\mathbf{a}) e o resto em forma integral.

Resposta

f(\mathbf{a}+\mathbf{h})=1+3h_{1}+2h_{2}+3h_{1}^{2}+6h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}+R_{2},
R_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-t)^{2}\Bigl[\,6(1+t h_{2})^{2}h_{1}^{3} +36(1+t h_{1})(1+t h_{2})h_{1}^{2}h_{2} +18(1+t h_{1})^{2}h_{1}h_{2}^{2}\Bigr]\,dt.

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