Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y, z)=x y z sujeito à restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=24.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x y z sujeita à restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=24.
Informações dadas:
  • A função objetivo é f(x,y,z)=x y z.
  • A restrição é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=24.
  • Precisa-se dos valores numéricos do máximo e do mínimo (e preferível identificar onde ocorrem).

Passo 2

Escolhi usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Explicando a ideia de forma simples: queremos pontos na esfera onde f atinge extremos. Numa superfície definida por g(x,y,z)=0 (aqui g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-24), os extremos ocorrem quando o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso se traduz na condição
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real). Em palavras: as direções de maior variação de f e de g devem alinhar-se no ponto ótimo sobre a superfície. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Formo a função de Lagrange. Defino
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x y z-\lambda\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-24\right).
Agora calculo as derivadas parciais e igualo a zero (condições de estacionaridade):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y z-2\lambda x=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x z-2\lambda y=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=x y-2\lambda z=0,
e a própria restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=24.

Passo 4

Vou analisar as equações obtidas. Das três primeiras temos o sistema
y z=2\lambda x,\qquad x z=2\lambda y,\qquad x y=2\lambda z.
Primeira observação: pode acontecer que algum de x,y,z seja zero. Vou separar casos.
Caso 1 — Um ou mais de x,y,z são zero.
  • Se algum for zero, então x y z=0. Assim f=0 nesses pontos. Esses são candidatos, mas temos que comparar com outros candidatos depois.
Caso 2 — Nenhum de x,y,z é zero.
  • Como todos não são zero, posso dividir as equações entre si. Por exemplo, divido a primeira pela segunda:
\frac{y z}{x z}=\frac{2\lambda x}{2\lambda y}\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{x}{y}.
Isso implica x^{2}=y^{2}, ou seja |x|=|y|. De modo análogo obtém-se |y|=|z| e |x|=|z|. Então todas as magnitudes são iguais:
|x|=|y|=|z|=:r>0.
  • Substituindo na restrição \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=24, obtemos
3r^{2}=24\quad\Rightarrow\quad r^{2}=8\quad\Rightarrow\quad r= \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Portanto as soluções possíveis nesta classe são os pontos onde cada coordenada vale \pm 2\sqrt{2}. Ou seja, as coordenadas são (\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2}) com sinais quaisquer.

Passo 5

Calculo os valores de f nesses candidatos:
  • Se x=y=z=2\sqrt{2}, então
f=(2\sqrt{2})^{3}= (2\sqrt{2})^{2}\cdot(2\sqrt{2}) = (8)\cdot(2\sqrt{2})=16\sqrt{2}.
  • De forma geral, dada a simetria, nos pontos (\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2}) o valor de f é f=\sigma\,(2\sqrt{2})^{3}=\sigma\,16\sqrt{2}, onde \sigma\in\{+1,-1\} é o produto dos sinais das três coordenadas. Assim:
    • Se o número de sinais negativos for par (0 ou 2 negativos), então \sigma=+1 e f=+16\sqrt{2}.
    • Se o número de sinais negativos for ímpar (1 ou 3 negativos), então \sigma=-1 e f=-16\sqrt{2}.
Os candidatos com algum coordenada zero dão f=0, que fica entre +16\sqrt{2} e -16\sqrt{2}.

Passo 6

Argumento final sobre máximo e mínimo global: a restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=24 define uma esfera compacta e f é contínua, logo f atinge máximos e mínimos globais sobre essa esfera. Entre todos os valores obtidos pelos pontos críticos (que encontramos: +16\sqrt{2}, -16\sqrt{2} e 0), o maior é +16\sqrt{2} e o menor é -16\sqrt{2}. Portanto esses são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais.
Também vale dizer onde ocorrem:
  • Máximo +16\sqrt{2} ocorre nos pontos da esfera onde |x|=|y|=|z|=2\sqrt{2} e o produto dos sinais é positivo (por exemplo (2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2}) ou com exatamente duas coordenadas negativas).
  • Mínimo -16\sqrt{2} ocorre nos pontos da esfera onde |x|=|y|=|z|=2\sqrt{2} e o produto dos sinais é negativo (por exemplo (-2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2}) ou com exatamente uma coord. negativa, etc.).

Resposta

Máximo: 16\sqrt{2}
Mínimo: -16\sqrt{2}

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