Encontre os valores máximo e mínimo de:
sujeito à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a esfera
. - Precisa-se dos valores numéricos do máximo e do mínimo (e preferível identificar onde ocorrem).
Passo 2
Escolhi usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Explicando a ideia de forma simples: queremos pontos na esfera onde
atinge extremos. Numa superfície definida por
(aqui
), os extremos ocorrem quando o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso se traduz na condição
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real). Em palavras: as direções de maior variação de
e de
devem alinhar-se no ponto ótimo sobre a superfície. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Formo a função de Lagrange. Defino
Agora calculo as derivadas parciais e igualo a zero (condições de estacionaridade):
e a própria restrição
Passo 4
Vou analisar as equações obtidas. Das três primeiras temos o sistema
Primeira observação: pode acontecer que algum de
seja zero. Vou separar casos.
Caso 1 — Um ou mais de
são zero.
- Se algum for zero, então
. Assim nesses pontos. Esses são candidatos, mas temos que comparar com outros candidatos depois.
Caso 2 — Nenhum de
é zero.
- Como todos não são zero, posso dividir as equações entre si. Por exemplo, divido a primeira pela segunda:
Isso implica
, ou seja
. De modo análogo obtém-se
e
. Então todas as magnitudes são iguais:
- Substituindo na restrição
, obtemos
- Portanto as soluções possíveis nesta classe são os pontos onde cada coordenada vale
. Ou seja, as coordenadas são com sinais quaisquer.
Passo 5
Calculo os valores de
nesses candidatos:
- Se
, então
- De forma geral, dada a simetria, nos pontos
o valor de é , onde é o produto dos sinais das três coordenadas. Assim: - Se o número de sinais negativos for par (0 ou 2 negativos), então
e . - Se o número de sinais negativos for ímpar (1 ou 3 negativos), então
e .
- Se o número de sinais negativos for par (0 ou 2 negativos), então
Os candidatos com algum coordenada zero dão
, que fica entre
e
.
Passo 6
Argumento final sobre máximo e mínimo global: a restrição
define uma esfera compacta e
é contínua, logo
atinge máximos e mínimos globais sobre essa esfera. Entre todos os valores obtidos pelos pontos críticos (que encontramos:
,
e
), o maior é
e o menor é
. Portanto esses são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais.
Também vale dizer onde ocorrem:
- Máximo
ocorre nos pontos da esfera onde e o produto dos sinais é positivo (por exemplo ou com exatamente duas coordenadas negativas). - Mínimo
ocorre nos pontos da esfera onde e o produto dos sinais é negativo (por exemplo ou com exatamente uma coord. negativa, etc.).
Resposta
Máximo:
Mínimo: