Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+3 z sujeito à restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função objetivo f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+3z.
  • A restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
O que é pedido:
  • Encontrar o valor máximo de f sujeito à restrição.
  • Encontrar o valor mínimo de f sujeito à restrição.
Informações relevantes a listar:
  • A restrição é a superfície da esfera de raio 6 centrada na origem, ou seja x^{2}+y^{2}+z^{2}=36.
  • A função f depende de x e y apenas através de x^{2}+y^{2}. Isso sugere aproveitar essa simetria na resolução.

Passo 2

Estratégia e redução do problema (a aula prática para a prova):
  • Como f aparece com x^{2}+y^{2}, é conveniente definir
r^{2}=x^{2}+y^{2},
onde r\ge 0. Isso simplifica a escrita e reduz a dimensão do problema.
  • A restrição dá
r^{2}+z^{2}=36.
  • Podemos resolver a restrição para r^{2}:
r^{2}=36-z^{2}.
  • Substituindo na expressão de f obtemos uma função de uma variável ( z):
f(x,y,z)=r^{2}+3z=(36-z^{2})+3z.
Assim definimos a função unidimensional
g(z)=36-z^{2}+3z,
com domínio determinado pela restrição da esfera, ou seja z\in[-6,6].
Explicação didática: na prova, quando a função depende só de x^{2}+y^{2} e há uma restrição com x^{2}+y^{2}+z^{2}= constante, sempre vale a pena reduzir para uma função apenas de z. Isso transforma o problema em um problema de cálculo de máximos/mínimos de função de uma variável, muito mais simples.

Passo 3

Encontrar extremos de g(z) no intervalo [-6,6]:
  • Calcule a derivada de g:
g'(z)=-2z+3.
  • Zeros da derivada (candidatos a extremos internos):
-2z+3=0 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{3}{2}.
  • Segundo derivada para classificar:
g''(z)=-2<0,
portanto em z=\dfrac{3}{2} temos um máximo local (concavidade para baixo).
Como o domínio é compacto [-6,6], os extremos globais ocorrem entre os pontos críticos internos e as extremidades z=-6 e z=6. Vamos avaliar g nesses pontos.

Passo 4

Avaliar g(z) nos pontos candidatas:
  • Em z=\dfrac{3}{2}:
g\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=36-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+3\cdot\dfrac{3}{2} =36-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}.
Calcule passo a passo:
-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{4},
então
g\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=36+\dfrac{9}{4}=\dfrac{144}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{153}{4}.
  • Em z=6: então r^{2}=36-6^{2}=0 e
g(6)=0+3\cdot 6=18.
  • Em z=-6: então r^{2}=0 e
g(-6)=0+3\cdot(-6)=-18.
Comparando os valores:
g\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{153}{4}\approx38{,}25,\quad g(6)=18,\quad g(-6)=-18.
Portanto o maior valor é \dfrac{153}{4} e o menor é -18.

Passo 5

Identificar os pontos na esfera onde esses valores são atingidos:
  • Para o máximo z=\dfrac{3}{2}. Pelo vínculo r^{2}=36-z^{2} temos
x^{2}+y^{2}=36-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=36-\dfrac{9}{4}=\dfrac{135}{4}.
Ou seja, o máximo é atingido em todos os pontos da interseção da esfera com o plano z=\dfrac{3}{2}, isto é no círculo definido por
z=\dfrac{3}{2},\qquad x^{2}+y^{2}=\dfrac{135}{4}.
Um ponto de exemplo (para “ver na conta”) é
\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{2},\,0,\,\dfrac{3}{2}\right).
  • Para o mínimo z=-6 temos x^{2}+y^{2}=0, logo x=y=0. O mínimo é atingido no ponto único
(x,y,z)=(0,0,-6).
Dica rápida para a prova: sempre cheque pontos críticos internos e fronteira. Aqui a fronteira de z foi simples ( [-6,6]) porque a restrição é uma esfera.

Resposta

Máximo: f_{\max}=\dfrac{153}{4}, atingido quando z=\dfrac{3}{2} e x^{2}+y^{2}=\dfrac{135}{4} (por exemplo \,x=\dfrac{3\sqrt{15}}{2},\,y=0,\,z=\dfrac{3}{2}\,).
Mínimo: f_{\min}=-18, atingido em (x,y,z)=(0,0,-6).

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