Encontre os valores máximo e mínimo de:
sujeito à restrição
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função objetivo
. - A restrição
.
O que é pedido:
- Encontrar o valor máximo de
sujeito à restrição. - Encontrar o valor mínimo de
sujeito à restrição.
Informações relevantes a listar:
- A restrição é a superfície da esfera de raio
centrada na origem, ou seja . - A função
depende de e apenas através de . Isso sugere aproveitar essa simetria na resolução.
Passo 2
Estratégia e redução do problema (a aula prática para a prova):
- Como
aparece com , é conveniente definir
onde
. Isso simplifica a escrita e reduz a dimensão do problema.
- A restrição dá
- Podemos resolver a restrição para
:
- Substituindo na expressão de
obtemos uma função de uma variável ( ):
Assim definimos a função unidimensional
com domínio determinado pela restrição da esfera, ou seja
.
Explicação didática: na prova, quando a função depende só de
e há uma restrição com
constante, sempre vale a pena reduzir para uma função apenas de
. Isso transforma o problema em um problema de cálculo de máximos/mínimos de função de uma variável, muito mais simples.
Passo 3
Encontrar extremos de
no intervalo
:
- Calcule a derivada de
:
- Zeros da derivada (candidatos a extremos internos):
- Segundo derivada para classificar:
portanto em
temos um máximo local (concavidade para baixo).
Como o domínio é compacto
, os extremos globais ocorrem entre os pontos críticos internos e as extremidades
e
. Vamos avaliar
nesses pontos.
Passo 4
Avaliar
nos pontos candidatas:
- Em
:
Calcule passo a passo:
então
- Em
: então e
- Em
: então e
Comparando os valores:
Portanto o maior valor é
e o menor é
.
Passo 5
Identificar os pontos na esfera onde esses valores são atingidos:
- Para o máximo
. Pelo vínculo temos
Ou seja, o máximo é atingido em todos os pontos da interseção da esfera com o plano
, isto é no círculo definido por
Um ponto de exemplo (para “ver na conta”) é
- Para o mínimo
temos , logo . O mínimo é atingido no ponto único
Dica rápida para a prova: sempre cheque pontos críticos internos e fronteira. Aqui a fronteira de
foi simples (
) porque a restrição é uma esfera.
Resposta
Máximo:
, atingido quando
e
(por exemplo
).
Mínimo: , atingido em
.
Mínimo: