Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=\left\{\begin{array}{c}4-(x+5)^{2} \text { se }-6 \leq x \leq-4 \\\ 12-(x+1)^{2} \text { se }-4<x \leq 0\end{array}\right.; [-6, 0]

Passo 1

O enunciado dá a função pedaço a pedaço em [-6,0]\) e pede os extremos absolutos usando o método do intervalo fechado, ou seja, avaliar a função nos pontos críticos internos e nos extremos do intervalo. Especificamente, \[f(x)= \begin{cases} 4 - (x+5)^{2}, & -6 \le x \le -4,\\\\ 12 - (x+1)^{2}, & -4 < x \le 0. \end{cases}
Vamos então encontrar as derivadas em cada ramo, achar os críticos que caem em cada subintervalo, avaliar nesses pontos e nos extremos x=-6\], \(x=-4 e x=0, e decidir os valores máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

Em cada ramo, a derivada é
\text{para }-6\le x\le -4:\quad f'(x)=-2\,(x+5),
\text{para }-4< x\le 0:\quad f'(x)=-2\,(x+1).
Zerando cada uma:
-2\,(x+5)=0\implies x=-5\quad\text{(pertence a }[-6,-4]\text{)},
-2\,(x+1)=0\implies x=-1\quad\text{(pertence a }(-4,0]\text{)}.
Portanto, os candidatos são x=-5 e x=-1, além dos extremos x=-6, x=-4 e x=0.

Passo 3

Agora avaliamos f nesses cinco pontos:
f(-6)=4-(-6+5)^{2}=4-1=3,
f(-5)=4-(-5+5)^{2}=4-0=4,
f(-4)=4-(-4+5)^{2}=4-1=3\quad(\text{usa o ramo esquerdo em }x=-4),
f(-1)=12-(-1+1)^{2}=12-0=12,
f(0)=12-(0+1)^{2}=12-1=11.

Passo 4

Comparando os valores obtidos, o maior valor é 12 em x=-1 e o menor valor é 3, que ocorre em x=-6 e em x=-4.

Resposta

O máximo absoluto ocorre em x=-1 com f(-1)=12.
O mínimo absoluto é f_{\min}=3, assumido em x=-6 e em x=-4.

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