Encontre os vértices, os focos e o centro/as assíntotas.
16x^2+25y^2-64x-200y+64=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
16x^2+25y^2-64x-200y+64=0
e pede vértices, focos e centro/assíntotas. Para isso vamos completar quadrados, identificar o tipo (é uma elipse) e usar as fórmulas de elipse padrão.

Passo 2

Agrupando termos e completando quadrados:
16(x^2-4x)+25(y^2-8y)+64=0
Em cada grupo, fazemos
x^2-4x = (x-2)^2-4, y^2-8y = (y-4)^2-16
Substituindo,
16l((x-2)^2-4r)+25l((y-4)^2-16r)+64=0
16(x-2)^2-64 +25(y-4)^2-400 +64=0
16(x-2)^2+25(y-4)^2=400
dividindo por 400,
(x-2)^225+(y-4)^216=1

Passo 3

Da forma
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
vemos que o centro é (h,k)=(2,4), a^2=25, b^2=16, e como a^2>b^2 o eixo maior é horizontal.

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a=5 ao longo do eixo maior e b=4 ao longo do menor. Logo:
vértices principais
(2pm5,,4)=(-3,4) e (7,4),
vértices secundários
(2,,4pm4)=(2,8) e (2,0)

Passo 5

A distância focal é dada por
c^2=a^2-b^2=25-16=9,
portanto c=3, e os focos são
(2pm3,,4)=(-1,4) e (5,4)

Passo 6

Elipses não têm assíntotas.

Resposta

Centro: (2,4)
Vértices: (-3,4), (7,4), (2,8), (2,0)
Focos: (-1,4), (5,4)
Assíntotas: não existem (é elipse)

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