Encontre os vértices, os focos e o centro/as assíntotas.
4x^2+25y^2-8x-10y=20.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da equação
4x^2 + 25y^2 - 8x - 10y = 20,
identificar o tipo de cônica, achar seu centro, os vértices do eixo principal, os focos e as assíntotas (caso existam). Para isso vamos completar quadrados em x e y e pôr a equação no formato canônico.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
4l(x^2-2xr) + 25l(y^2-tfrac25yr) = 20
Em seguida:
x^2-2x = (x-1)^2 -1, y^2-tfrac25y = l(y-tfrac15r)^2 - tfrac125
Substituindo:
4l[(x-1)^2-1r] + 25l[l(y-tfrac15r)^2-tfrac125r] = 20
4(x-1)^2 -4 + 25l(y-tfrac15r)^2 -1 = 20
4(x-1)^2 + 25l(y-tfrac15r)^2 = 25

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 25, obtemos a forma canônica:
(x-1)^225/4 + l(y-tfrac15r)^21 = 1
Aqui identificamos um \emph{elipse} com:
a^2 = 254, b^2 = 1,
e o semieixo maior a=tfrac52 está na direção de x.

Passo 4

O centro da elipse é o ponto de translação:
l(x0,y0r) = l(1,tfrac15r)
Como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal.

Passo 5

Os vértices ao longo do eixo maior são:
l(1pm a,;tfrac15r) = l(1pm tfrac52,;tfrac15r)
isto é
V1 = l(3,5,;0,2r), V2 = l(-1,5,;0,2r)

Passo 6

Para achar os focos calculamos
c^2 = a^2-b^2 = 254 - 1 = 214, c = raiz212
Assim os focos são
F1,2 = l(1pm tfracraiz212,;tfrac15r)

Passo 7

Como esta é uma elipse (soma de quadrados igual a 1), ela não possui assíntotas.

Resposta

Centro: l(1,tfrac15r)
Vértices: l(3,5,0,2r) e l(-1,5,0,2r)
Focos: l(1pmtfracraiz212,tfrac15r)
Assíntotas: não existem (é elipse).

Exercícios relacionados