Encontre o vetor campo magnético de um segmento finito de fio pelo qual passa uma corrente I. Verifique se a sua reposta é coerente com a Eq.
B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi s} \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \cos \theta d \theta=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi s}\left(\sin \theta_{2}-\sin \theta_{1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético produzido por um fio retilíneo finito que transporta corrente I, num ponto a distância s do fio. Vamos usar a Lei de Biot–Savart, que requer parametrizar o fio, calcular um produto vetorial e depois fazer uma mudança de variável em termos do ângulo \theta.

Passo 2

Escrevemos a Lei de Biot–Savart em forma diferencial:
d\mathbf{B} \;=\; \frac{\mu_0\,I}{4\pi}\;\frac{d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf r}}{r^2}\,.
Colocamos o fio ao longo do eixo z, o ponto de observação no plano radial a distância s, de modo que
d\boldsymbol{\ell} = dz\,\hat{\mathbf z}, \quad \mathbf r = s\,\hat{\mathbf s}+z\,\hat{\mathbf z},
e então
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf r =dz\,\hat{\mathbf z}\times(s\,\hat{\mathbf s}) =s\,dz\,\hat{\boldsymbol\varphi}.
Portanto
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{s\,dz}{(s^2+z^2)^{3/2}}\;\hat{\boldsymbol\varphi}.

Passo 3

Para integrar, definimos \theta tal que z = s\tan\theta. Então
dz = s\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \quad (s^2+z^2)^{3/2} = s^3\operatorname{sec}^3\theta.
Substituindo em d\mathbf B resulta
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\, \frac{s\,(s\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta)}{s^3\operatorname{sec}^3\theta}\, \hat{\boldsymbol\varphi} = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\,\cos\theta\,d\theta\;\hat{\boldsymbol\varphi}.

Passo 4

Integramos de \theta_1 a \theta_2, que são os ângulos nos extremos do segmento:
\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi s} \int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta\;\hat{\boldsymbol\varphi} = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\bigl(\sin\theta_2-\sin\theta_1\bigr)\,\hat{\boldsymbol\varphi}.
Isso coincide exatamente com
B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi s}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\cos\theta\,d\theta =\frac{\mu_{0} I}{4 \pi s}\bigl(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\bigl(\sin\theta_2 - \sin\theta_1\bigr)\,\hat{\boldsymbol\varphi}.

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