Encontre o vetor \nabla f no ponto dado.
(c) f(x, y)=\sqrt{2 x+3 y}, P=(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de f(x,y)=\sqrt{2x+3y} no ponto P=(-1,2). O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro escrevemos
f(x,y) = (2x+3y)^{\tfrac12}.
Para achar \frac{\partial f}{\partial x} usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac12 (2x+3y)^{-\tfrac12} \cdot 2 = \frac{1}{(2x+3y)^{\tfrac12}}.
De modo análogo, para \frac{\partial f}{\partial y} temos:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac12 (2x+3y)^{-\tfrac12} \cdot 3 = \frac{3}{2\,(2x+3y)^{\tfrac12}}.

Passo 3

Agora avaliamos em P=(-1,2). Primeiro note que
2(-1)+3\cdot2 = -2 + 6 = 4,
logo (2x+3y)^{\tfrac12}\bigr|_{P} = \sqrt{4} = 2. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl|_{P} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}\Bigl|_{P} = \frac{3}{2\cdot 2} = \frac{3}{4}.

Resposta

\nabla f(-1,2) = \Bigl(\tfrac12,\;\tfrac34\Bigr).

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