Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais
(a)
é máxima
(b)
é mínima
(c)
(d)
(e) $\frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=-3
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) $\frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=-3
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as direções
(com
) e os valores de
nos casos
(a) máximo, (b) mínimo, (c) igual a zero, (d) igual a e (e) igual a
.
O conteúdo envolvido é o gradiente e a derivada direcional, que satisfaz
(a) máximo, (b) mínimo, (c) igual a zero, (d) igual a
O conteúdo envolvido é o gradiente e a derivada direcional, que satisfaz
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Em
isso vale
Passo 3
Para qualquer direção unidade
,
(a) O valor máximo é
, obtido quando
aponta na mesma direção de
, isto é
(b) O valor mínimo é
, obtido na direção oposta,
Passo 4
(c) Para
precisamos de
, ou seja
As soluções unitárias são
Passo 5
(d) Para
impomos
Resolvendo no círculo unitário, achamos duas direções:
Passo 6
(e) Para
impomos
As duas soluções unitárias são
Resposta
(a) Direção
, valor máximo
.
(b) Direção , valor mínimo
.
(c) Direções ou
, valor
.
(d) Direções ou
, valor
.
(e) Direções ou
, valor
.
(b) Direção
(c) Direções
(d) Direções
(e) Direções