Seja f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}-y. Encontre as direções \mathbf{v} e os valores de \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1) para os quais
(a) \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1) é máxima
(b) \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1) é mínima
(c) \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=0
(d) \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=4
(e) $\frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-x\,y+y^{2}-y
e pede as direções \mathbf{v} (com \|\mathbf{v}\|=1) e os valores de
\displaystyle \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1) nos casos
(a) máximo, (b) mínimo, (c) igual a zero, (d) igual a 4 e (e) igual a -3.
O conteúdo envolvido é o gradiente e a derivada direcional, que satisfaz
\frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot \mathbf{v}.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(\,2x - y,\,-x + 2y - 1\,).
Em (1,-1) isso vale
\nabla f(1,-1)=(\,2\cdot1-(-1),\,-1+2\cdot(-1)-1)=(3,\,-4).

Passo 3

Para qualquer direção unidade \mathbf{v},
\frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1) =(3,-4)\cdot(v_{1},v_{2}) =3v_{1}-4v_{2}.
(a) O valor máximo é \|\nabla f(1,-1)\|=5, obtido quando \mathbf{v} aponta na mesma direção de \nabla f, isto é
\mathbf{v}=\frac{1}{5}(3,-4).
(b) O valor mínimo é -5, obtido na direção oposta,
\mathbf{v}=-\frac{1}{5}(3,-4).

Passo 4

(c) Para \displaystyle \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=0 precisamos de \mathbf{v}\perp\nabla f, ou seja
3v_{1}-4v_{2}=0 \quad\text{e}\quad v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=1.
As soluções unitárias são
\mathbf{v}=(4/5,\,3/5) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v}=(-4/5,\,-3/5).

Passo 5

(d) Para \displaystyle \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=4 impomos
3v_{1}-4v_{2}=4, \quad v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=1.
Resolvendo no círculo unitário, achamos duas direções:
\mathbf{v}=(0,-1) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v}=\bigl(24/25,\,-7/25\bigr).

Passo 6

(e) Para \displaystyle \frac{d f}{d \mathbf{v}}(1,-1)=-3 impomos
3v_{1}-4v_{2}=-3, \quad v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=1.
As duas soluções unitárias são
\mathbf{v}=(-1,0) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v}=\bigl(7/25,\,24/25\bigr).

Resposta

(a) Direção \mathbf{v}=(3/5,-4/5), valor máximo 5.
(b) Direção \mathbf{v}=(-3/5,4/5), valor mínimo -5.
(c) Direções \mathbf{v}=(4/5,3/5) ou (-4/5,-3/5), valor 0.
(d) Direções \mathbf{v}=(0,-1) ou (24/25,-7/25), valor 4.
(e) Direções \mathbf{v}=(-1,0) ou (7/25,24/25), valor -3.

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