Encontre o vetor resultante e represente geometricamente.
(2 i+3 j-k)+(i-k)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o vetor resultante da soma (2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k})+(\mathbf{i}-\mathbf{k}) e representá‑lo geometricamente.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\vec{A}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k}
\vec{B}=\mathbf{i}-\mathbf{k}

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significam \mathbf{i}, \mathbf{j} e \mathbf{k}.
Esses são os vetores unitários da base canônica em 3D:
\mathbf{i} é o vetor unitário na direção x, ou seja (1,0,0).
\mathbf{j} é o vetor unitário na direção y, ou seja (0,1,0).
\mathbf{k} é o vetor unitário na direção z, ou seja (0,0,1).
Qualquer vetor \vec{V} escrito como V_x\mathbf{i}+V_y\mathbf{j}+V_z\mathbf{k} tem componentes (V_x,V_y,V_z). Isso facilita somar vetores componente a componente.

Passo 3

Convertemos os vetores dados para a forma de componentes (coordenadas). Usando o que dissemos:
\vec{A} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k} = (2,\,3,\,-1)
\vec{B} = \mathbf{i}-\mathbf{k} = (1,\,0,\,-1)

Passo 4

Regra de soma de vetores em coordenadas: se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x,\;A_y+B_y,\;A_z+B_z).
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} e B_x,B_y,B_z as de \vec{B}.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos nossos vetores, somamos componente a componente:
  • componente x: 2 + 1 = 3,
  • componente y: 3 + 0 = 3,
  • componente z: -1 + (-1) = -2.
Portanto em coordenadas:
\vec{R}=(3,\,3,\,-2).

Passo 6

Voltando para a notação com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, escrevemos o vetor resultante como
\vec{R}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
Isso é exatamente a soma pedida, expressa de forma usual.

Passo 7

Como representar geometricamente (passo a passo para desenhar no papel ou quadro):
  1. Desenhe um sistema de eixos tridimensional aproximado: eixos x, y no plano do papel (com x para a direita e y para cima) e o eixo z saindo/entrando em perspectiva (por exemplo, para cima à direita como positivo ou com seta para cima na diagonal).
  2. Marque o ponto correspondente a \vec{A}=(2,3,-1): vá 2 unidades em x, 3 em y e desça 1 unidade em z. Desenhe um segmento do ponto origem (0,0,0) até esse ponto — esse é \vec{A}.
  3. Marque o ponto correspondente a \vec{B}=(1,0,-1): 1 em x, 0 em y, -1 em z. Desenhe o segmento origem → esse ponto — esse é \vec{B}.
  4. Para obter a soma pelo método do paralelogramo (ou regra cabeça‑cauda): desenhe um segundo vetor igual a \vec{B} com sua cauda colocada na cabeça de \vec{A} (ou vice‑versa). A diagonal do paralelogramo formada é \vec{R}. Alternativamente, desenhe o vetor do origem até o ponto (3,3,-2) — esse segmento representa \vec{R}.
  5. Uma forma prática de visualizar é projetar para o plano xy: as projeções são (2,3), (1,0) e (3,3) no plano xy, e os deslocamentos em z somam -1 + (-1) = -2.

Passo 8

Verificação rápida: se você deslocar da origem primeiro por \vec{A} e depois por \vec{B} (colocando a cauda de \vec{B} na cabeça de \vec{A}), o ponto final terá coordenadas (2+1,\,3+0,\,-1-1)=(3,3,-2), que coincide com \vec{R}. Tudo consistente — bom sinal!

Resposta

\vec{R}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}
Representação geométrica: vetor do origem até o ponto (3,\,3,\,-2); pode ser obtido pelo paralelogramo (colocar a cauda de \vec{B} na cabeça de \vec{A}) ou desenhando a diagonal do paralelogramo formado por \vec{A} e \vec{B}.

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