Encontre o vetor solução dos seguintes sistemas.
\begin{gathered}2 x-y+z+w=9 \\\ 3 y-2 z+w=4 \z+5 w=13 \w=2\end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor solução do sistema formado por quatro equações. As equações fornecidas são:
2x - y + z + w = 9
3y - 2z + w = 4
z + 5w = 13
w = 2
Informações relevantes: temos quatro incógnitas x,y,z,w e a última equação já fornece o valor de w.

Passo 2

Estratégia básica (explicando a técnica): quando uma incógnita já aparece isolada (aqui w=2), usamos substituição. Substituir significa trocar todas as ocorrências de w pelas suas valor conhecido nas outras equações, reduzindo o sistema para menos incógnitas. Isso é simples e seguro — é como desmontar o sistema começando pela parte já conhecida.

Passo 3

Usando w=2 na terceira equação \;z+5w=13\;, fazemos a substituição:
z + 5\cdot 2 = 13
z + 10 = 13
Para isolar z, subtraímos 10 dos dois lados:
z = 13 - 10 = 3.

Passo 4

Agora usamos z=3 e w=2 na segunda equação \;3y - 2z + w = 4\;. Substituindo passo a passo:
3y - 2\cdot 3 + 2 = 4
3y - 6 + 2 = 4
3y - 4 = 4
Somamos 4 aos dois lados:
3y = 8
Dividindo por 3:
y = \frac{8}{3}.
Explicação curta: dividir ambos os lados pelo coeficiente de y (aqui 3) é o método padrão para isolar a variável.

Passo 5

Finalmente usamos y=\frac{8}{3}, z=3 e w=2 na primeira equação \;2x - y + z + w = 9\;. Substituindo:
2x - \frac{8}{3} + 3 + 2 = 9
Calcule 3+2=5 e escreva em terços para somar com -\frac{8}{3}:
2x - \frac{8}{3} + 5 = 9
2x - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = 9
2x + \frac{7}{3} = 9
Subtraindo \frac{7}{3} dos dois lados (repare que 9 = \frac{27}{3}):
2x = \frac{27}{3} - \frac{7}{3} = \frac{20}{3}
Dividindo por 2:
x = \frac{20}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{10}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): substituir \left(x,y,z,w\right)=\left(\tfrac{10}{3},\tfrac{8}{3},3,2\right) nas equações:
  • Primeira: 2\cdot\tfrac{10}{3}-\tfrac{8}{3}+3+2=\tfrac{20}{3}-\tfrac{8}{3}+\tfrac{15}{3}=\tfrac{27}{3}=9.
  • Segunda: 3\cdot\tfrac{8}{3}-2\cdot3+2=8-6+2=4.
  • Terceira: 3+5\cdot2=3+10=13.
  • Quarta: w=2.
    Tudo confere.

Resposta

\left(\tfrac{10}{3},\tfrac{8}{3},3,2\right)

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