Encontre o vetor solução dos seguintes sistemas.
\begin{gathered}x+2 y-z+w=3 \\\ -y+4 z-2 w=1 \z+w=5 \w=1\end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o vetor solução dos seguintes sistemas.” Ou seja, encontrar os valores de x, y, z e w que satisfazem todas as equações simultaneamente e escrever o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}.
As informações dadas (reproduzidas do enunciado) são:
\begin{gathered} x+2y-z+w=3\\\\ -y+4z-2w=1\\\ z+w=5\\\ w=1 \end{gathered}
Observações úteis que extraí do enunciado (sem resolver ainda): há quatro equações e quatro incógnitas \;x,y,z,w\;. A última equação já isola \;w\; explicitamente como \;w=1\;, o que facilita a resolução por substituição.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática): como temos uma equação que já dá \;w=1\;, o método mais direto é a substituição (também chamado de back-substitution quando se resolve de baixo para cima num sistema “triangular”). A ideia é:
  1. Usar a equação que dá \;w\; para calcular \;z\; a partir da terceira equação.
  2. Com \;w\; e \;z\; conhecidos, usar a segunda equação para encontrar \;y\;.
  3. Por fim, usar \;y,z,w na primeira equação para encontrar \;x\;.
    Esse método funciona porque cada passo reduz o número de incógnitas nas equações acima, até obter todas as variáveis.

Passo 3

Substituir \;w=1\; na terceira equação \;z+w=5\; para achar \;z\;.
z+w=5
Substituindo \;w=1\;:
z+1=5
Isolando \;z\;:
z=5-1
z=4
Explicação curta do procedimento: ao ter uma soma igual a 5 e conhecer uma parcela ( w), subtraímos essa parcela do total para obter a outra parcela ( z).

Passo 4

Usar \;z=4\; e \;w=1\; na segunda equação \;-y+4z-2w=1\; para achar \;y\;.
Escrevendo a equação:
-y+4z-2w=1
Substituindo z=4 e w=1:
-y+4\cdot 4-2\cdot 1=1
Calculemos os produtos:
-y+16-2=1
Simplificando 16-2:
-y+14=1
Isolando -y:
-y=1-14
-y=-13
Portanto:
y=13
Explicação didática: ao isolar a incógnita, lembre-se de inverter o sinal ao passar -y para o outro lado; aqui -y=-13 implica y=13.

Passo 5

Usar \;y=13, \;z=4 e \;w=1 na primeira equação \;x+2y-z+w=3\; para achar \;x\;.
Escrevendo a equação:
x+2y-z+w=3
Substituindo y=13, z=4, w=1:
x+2\cdot 13-4+1=3
Calculemos 2\cdot 13:
x+26-4+1=3
Some os termos numéricos 26-4+1:
x+23=3
Isolando x:
x=3-23
x=-20
Explicação didática: resolvemos a equação linear isolando x e efetuando operações aritméticas simples; isso é típico em sistemas resolvidos por substituição.

Passo 6

Verificação rápida (importante para evitar erros de contas): vamos checar cada equação com (x,y,z,w)=(-20,13,4,1).
  1. Primeira equação: x+2y-z+w
-20+2\cdot 13-4+1=-20+26-4+1=6-4+1=2+1=3
Confere com o lado direito 3.
  1. Segunda equação: -y+4z-2w
-13+4\cdot 4-2\cdot 1=-13+16-2=3-2=1
Confere com o lado direito 1.
  1. Terceira equação: z+w
4+1=5
Confere com o lado direito 5.
  1. Quarta equação: w=1 — obviamente satisfeita.
Como todas as equações são satisfeitas, a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-20\\[4pt]13\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados