Encontre o vetor solução dos seguintes sistemas.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o vetor solução dos seguintes sistemas.” Ou seja, encontrar os valores de
,
,
e
que satisfazem todas as equações simultaneamente e escrever o vetor solução
.
As informações dadas (reproduzidas do enunciado) são:
Observações úteis que extraí do enunciado (sem resolver ainda): há quatro equações e quatro incógnitas
. A última equação já isola
explicitamente como
, o que facilita a resolução por substituição.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática): como temos uma equação que já dá
, o método mais direto é a substituição (também chamado de back-substitution quando se resolve de baixo para cima num sistema “triangular”). A ideia é:
- Usar a equação que dá
para calcular a partir da terceira equação. - Com
e conhecidos, usar a segunda equação para encontrar . - Por fim, usar
na primeira equação para encontrar .
Esse método funciona porque cada passo reduz o número de incógnitas nas equações acima, até obter todas as variáveis.
Passo 3
Substituir
na terceira equação
para achar
.
Substituindo
:
Isolando
:
Explicação curta do procedimento: ao ter uma soma igual a 5 e conhecer uma parcela (
), subtraímos essa parcela do total para obter a outra parcela (
).
Passo 4
Usar
e
na segunda equação
para achar
.
Escrevendo a equação:
Escrevendo a equação:
Substituindo
e
:
Calculemos os produtos:
Simplificando
:
Isolando
:
Portanto:
Explicação didática: ao isolar a incógnita, lembre-se de inverter o sinal ao passar
para o outro lado; aqui
implica
.
Passo 5
Usar
,
e
na primeira equação
para achar
.
Escrevendo a equação:
Escrevendo a equação:
Substituindo
,
,
:
Calculemos
:
Some os termos numéricos
:
Isolando
:
Explicação didática: resolvemos a equação linear isolando
e efetuando operações aritméticas simples; isso é típico em sistemas resolvidos por substituição.
Passo 6
Verificação rápida (importante para evitar erros de contas): vamos checar cada equação com
.
- Primeira equação:
Confere com o lado direito
.
- Segunda equação:
Confere com o lado direito
.
- Terceira equação:
Confere com o lado direito
.
- Quarta equação:
— obviamente satisfeita.
Como todas as equações são satisfeitas, a solução está correta.