Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(g)
, о eixo
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada por algumas curvas ao redor do eixo
. As curvas que delimitam essa região são:
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender como essas curvas se comportam e quais são os limites para a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas. A equação
é uma parte da circunferência de raio 2 centrada na origem, mas apenas onde
é positivo. A equação
representa o eixo
, e
é o eixo
. Então, estamos trabalhando com a parte do círculo no primeiro quadrante, abaixo do eixo
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde
é a função que representa o raio do disco em cada valor de
, e
e
são os limites de integração.
Passo 4
Identificamos
a partir da equa��ão
. Aqui,
. Os limites de integração vão de
até
, já que quando
,
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos calcular um valor definido.
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.