Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(g) x = raiz(4 - y^2), x = 0, y = 0, о eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada por algumas curvas ao redor do eixo y. As curvas que delimitam essa região são:
  • x = 0
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender como essas curvas se comportam e quais são os limites para a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas. A equação é uma parte da circunferência de raio 2 centrada na origem, mas apenas onde x é positivo. A equação x = 0 representa o eixo y, e é o eixo x. Então, estamos trabalhando com a parte do círculo no primeiro quadrante, abaixo do eixo y.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a função que representa o raio do disco em cada valor de y, e a e b são os limites de integração.

Passo 4

Identificamos a partir da equa��ão . Aqui, . Os limites de integração vão de até , já que quando , x = 0.

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Integrando termo a termo:
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos calcular um valor definido.

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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