Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(b) y = x^3, y = 0, x = 1, o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Primeiro, precisamos entender bem essas curvas e visualizar a região que vamos girar.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas:
  • é uma função cúbica que passa pela origem e cresce rapidamente para .
  • é o eixo .
  • é uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
A região limitada por essas curvas fica entre e , abaixo da curva e acima do eixo .

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é ideal. Esse método envolve pensar na região como uma série de “cascas” cilíndricas infinitamente finas, calcular o volume de cada casca e integrar todas elas.

Passo 4

Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Aqui:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação (neste caso, o eixo ).
  • é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.

Passo 5

No nosso caso:
  • Os limites de integração são de até , pois varia de 0 a 1.
  • A altura da casca é (pois está entre e ).
Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

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