Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(b)
, o eixo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Primeiro, precisamos entender bem essas curvas e visualizar a região que vamos girar.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas:
-
é uma função cúbica que passa pela origem e cresce rapidamente para . -
é o eixo . -
é uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
A região limitada por essas curvas fica entre
e
, abaixo da curva
e acima do eixo
.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é ideal. Esse método envolve pensar na região como uma série de “cascas” cilíndricas infinitamente finas, calcular o volume de cada casca e integrar todas elas.
Passo 4
Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Aqui:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação (neste caso, o eixo ). -
é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.
Passo 5
No nosso caso:
- Os limites de integração são de
até , pois varia de 0 a 1. - A altura
da casca é (pois está entre e ).
Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.