Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta vertical
.
Conteúdo: cálculo de volumes por rotação de regiões planas. Vamos empregar o método das cascas cilíndricas, já que o eixo de rotação é vertical e a região está naturalmente descrita por funções .
Conteúdo: cálculo de volumes por rotação de regiões planas. Vamos empregar o método das cascas cilíndricas, já que o eixo de rotação é vertical e a região está naturalmente descrita por funções
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
Substituindo
em
dá
Para
, temos
Logo a região
está entre as curvas
(embaixo) e
(embaio) para
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, um elemento típico tem:
- raio
: distância de até o eixo , isto é
- altura
: diferença entre as ordenadas superior e inferior
- espessura
.
A fórmula do volume é
Passo 4
Expandindo o integrando:
Então
Calculando em
e
:
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos