Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
y=x^{2}, \quad x=y^{2} ; \quad em torno de x=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
y = x^2
e
x = y^2
em torno da reta vertical x = -1.
Conteúdo: cálculo de volumes por rotação de regiões planas. Vamos empregar o método das cascas cilíndricas, já que o eixo de rotação é vertical e a região está naturalmente descrita por funções y(x).

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
y = x^2 \quad\text{e}\quad x = y^2.
Substituindo y = x^2 em x = y^2
x = (x^2)^2 = x^4 \;\;\Longrightarrow\;\; x^4 - x = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x^3 - 1)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; x=0\text{ ou }x=1.
Para x\in[0,1], temos
y_{\text{inf}} = x^2 \quad\text{e}\quad y_{\text{sup}} = \sqrt{x}.
Logo a região R está entre as curvas y=x^2 (embaixo) e y=\sqrt{x} (embaio) para 0\le x\le1.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, um elemento típico tem:
  • raio r(x): distância de x até o eixo x=-1, isto é
r(x) = x - (-1) = x+1.
  • altura h(x): diferença entre as ordenadas superior e inferior
h(x) = \sqrt{x} - x^2.
  • espessura dx.
A fórmula do volume é
V = 2\pi \int_{x=0}^{1} r(x)\,h(x)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} (x+1)\bigl(\sqrt{x}-x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(x+1)\bigl(x^{1/2}-x^2\bigr) = x^{3/2} - x^3 + x^{1/2} - x^2.
Então
\int_{0}^{1}(x^{3/2} - x^3 + x^{1/2} - x^2)\,dx = \Bigl[\tfrac{2}{5}x^{5/2}\Bigr]_{0}^{1} - \Bigl[\tfrac{1}{4}x^4\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Bigr]_{0}^{1} - \Bigl[\tfrac{1}{3}x^3\Bigr]_{0}^{1}.
Calculando em 0 e 1:
\frac{2}{5} - \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \bigl(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{3}\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{16}{15} - \frac{7}{12} = \frac{64-35}{60} = \frac{29}{60}.

Passo 5

Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \frac{29}{60} = \frac{29\pi}{30}.

Resposta

\boxed{\frac{29\pi}{30}}

Exercícios relacionados