Encontre o Wronskiano do par de funções dado.
(a)
(d)
(b)
,
(e)
©
,
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Passo 1
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e
. Para isso, vamos precisar da fórmula do Wronskiano e das derivadas dessas funções.
Passo 2
O Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas das funções:
Passo 3
Substituímos as funções e suas derivadas na fórmula do Wronskiano:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Passo 5
Fatoramos
:
Passo 6
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e . Precisamos da fórmula do Wronskiano e das derivadas dessas funções.
Passo 7
A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:
Passo 8
Substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 9
Sabemos que , então:
Passo 10
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e
. Vamos usar a fórmula do Wronskiano e calcular as derivadas necessárias.
Passo 11
A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:
Passo 12
Substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 13
Simplificamos a expressão:
Passo 14
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e
. Utilizaremos a fórmula do Wronskiano e calcularemos as derivadas necessárias.
Passo 15
A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:
Passo 16
Substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 17
Simplificamos a expressão:
Passo 18
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e . Utilizaremos a fórmula do Wronskiano e calcularemos as derivadas necessárias.
Passo 19
A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:
Passo 20
Substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 21
Simplificamos a expressão:
Passo 22
Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções
e
. Vamos utilizar a fórmula do Wronskiano e calcular as derivadas necessárias.
Passo 23
A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:
Passo 24
Substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 25
Simplificamos usando identidades trigonométricas:
Sabemos que . Substituindo:
Passo 26
Podemos fatorar :
Usando a identidade
:
Resposta
O Wronskiano das funções
e
é: