Encontre o Wronskiano do par de funções dado.
(a) e^(2 t), e^(-3 t / 2)
(d) x, x e^x
(b) cos(t), sen(t)
(e) e^t cos(t), e^t sen(t)
© e^(-2 t), t e^(-2 t),
(f) cos^2(theta), 1 + cos(2 theta)

Passo 1

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Para isso, vamos precisar da fórmula do Wronskiano e das derivadas dessas funções.

Passo 2

O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas das funções:

Passo 3

Substituímos as funções e suas derivadas na fórmula do Wronskiano:

Passo 4

Simplificamos a expressão:

Passo 5

Fatoramos :

Passo 6

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Precisamos da fórmula do Wronskiano e das derivadas dessas funções.

Passo 7

A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:

Passo 8

Substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 9

Sabemos que , então:

Passo 10

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Vamos usar a fórmula do Wronskiano e calcular as derivadas necessárias.

Passo 11

A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:

Passo 12

Substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 13

Simplificamos a expressão:

Passo 14

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Utilizaremos a fórmula do Wronskiano e calcularemos as derivadas necessárias.

Passo 15

A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:

Passo 16

Substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 17

Simplificamos a expressão:

Passo 18

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Utilizaremos a fórmula do Wronskiano e calcularemos as derivadas necessárias.

Passo 19

A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:

Passo 20

Substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 21

Simplificamos a expressão:

Passo 22

Vamos encontrar o Wronskiano do par de funções e . Vamos utilizar a fórmula do Wronskiano e calcular as derivadas necessárias.

Passo 23

A fórmula do Wronskiano é:
Calculamos as derivadas:

Passo 24

Substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 25

Simplificamos usando identidades trigonométricas:
Sabemos que . Substituindo:

Passo 26

Podemos fatorar :
Usando a identidade :

Resposta

O Wronskiano das funções e é:

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