Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
a x^{2} + 2hxy + b y^{2} = 0
e pede a derivada \displaystyle y' = \frac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, sabendo que y é função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2hxy\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(b y^{2}\bigr) = 0.
Como \displaystyle\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x, \displaystyle\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,y' e \displaystyle\frac{d}{dx}(x y) = y + x y', obtemos
2a x + 2h\,(y + x y') + 2b y\,y' = 0.

Passo 3

Expandindo e coletando os termos que contêm y':
2a x + 2h y + 2h x\,y' + 2b y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2h x\,y' + 2b y\,y' = -\,\bigl(2a x + 2h y\bigr).

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo e dividindo tudo por 2:
y'\,(h x + b y) = -\,(a x + h y) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\,\frac{a x + h y}{h x + b y}.

Resposta

y' = -\,\frac{a x + h y}{h x + b y}.

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