Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{\pi} no ponto de abscissa -1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\pi}
no ponto de abscissa x_{0}=-\tfrac12.
Para isso vamos usar a definição da derivada (regra da cadeia) para obter o coeficiente angular m=f'(x_{0}) e depois a forma-ponto da reta tangente.

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto de tangência:
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\bigl[(-\tfrac12)^{2}+1\bigr]^{\pi} =\bigl(\tfrac14+1\bigr)^{\pi} =\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi}.

Passo 3

Obter a derivada geral f'(x) usando regra da cadeia:
a função exterior é u\mapsto u^{\pi} e a interior é u(x)=x^{2}+1.
Pela cadeia,
f'(x) =\pi\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\pi-1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) =\pi\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\pi-1}\cdot2x =2\pi x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\pi-1}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x_{0}=-\tfrac12:
f'\bigl(-\tfrac12\bigr) =2\pi\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi-1} =-\pi\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi-1}.
Logo o coeficiente angular da reta tangente é
m=-\pi\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi-1}.

Passo 5

Escrever a reta na forma ponto-declive:
y - y_{0} =m\bigl(x - x_{0}\bigr),
com x_{0}=-\tfrac12 e y_{0}=(\tfrac54)^{\pi}. Portanto
y - \bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi} =-\pi\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi-1}\Bigl(x + \tfrac12\Bigr).

Resposta

\boxed{y - \bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi} =-\pi\bigl(\tfrac54\bigr)^{\pi-1}\Bigl(x + \tfrac12\Bigr)}.

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