Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y \sqrt{1 - x^{2}} \;+\; x \sqrt{1 - y^{2}} \;=\; 1
e pede a derivada implícita y'=\frac{dy}{dx}. Vamos diferenciar ambos os lados em função de x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Diferenciando a primeira parcela y \sqrt{1 - x^{2}} usando produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[y \sqrt{1 - x^{2}}\bigr] = y'\,\sqrt{1 - x^{2}} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^{2}}}\,(-2x) = y'\,\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{y\,x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 3

Diferenciando a segunda parcela x \sqrt{1 - y^{2}}:
\frac{d}{dx}\bigl[x \sqrt{1 - y^{2}}\bigr] = 1\cdot \sqrt{1 - y^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - y^{2}}}\,(-2y\,y') = \sqrt{1 - y^{2}} - \frac{x\,y\,y'}{\sqrt{1 - y^{2}}}.
Como a soma das derivadas deve ser zero, obtemos
y'\,\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{y\,x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - y^{2}} - \frac{x\,y\,y'}{\sqrt{1 - y^{2}}} = 0.

Passo 4

Agrupando os termos com y' e isolando-o:
y'\Bigl(\sqrt{1 - x^{2}} \;-\; \frac{x\,y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\Bigr) = \frac{y\,x}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - y^{2}},
portanto
y' = \frac{\displaystyle \frac{y\,x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \;-\; \sqrt{1 - y^{2}}} {\displaystyle \sqrt{1 - x^{2}} \;-\; \frac{x\,y}{\sqrt{1 - y^{2}}}}.

Passo 5

Para simplificar, seja A=\sqrt{1 - x^{2}} e B=\sqrt{1 - y^{2}}. Então
y' = \frac{\tfrac{y\,x}{A}-B}{A-\tfrac{x\,y}{B}} = \frac{\tfrac{y\,x-B\,A}{A}}{\tfrac{A\,B - x\,y}{B}} = -\frac{B}{A} = -\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Resposta

y' = -\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

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