Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e o método dos coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Essa suposição é baseada na ideia de que exponenciais são soluções naturais para esse tipo de equação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a “equação característica”. Para isso, substituímos
na equação diferencial:
Substituindo na equação original:
Como
nunca é zero, podemos dividir todos os termos por
:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Calculando as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções encontradas:
Substituindo as raízes:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.