Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 6y' + 7y = 0

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e o método dos coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Essa suposição é baseada na ideia de que exponenciais são soluções naturais para esse tipo de equação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a “equação característica”. Para isso, substituímos na equação diferencial:
Substituindo na equação original:
Como nunca é zero, podemos dividir todos os termos por :
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Calculando as raízes:
Então, as raízes são e .

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções encontradas:
Substituindo as raízes:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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