Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o lado direito) e de uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para
e outra para
.
Para
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
Passo 4
Para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema:
Então,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.