Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 5y' + 6y = e^x + 3x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o lado direito) e de uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para e^x e outra para .
Para e^x, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,

Passo 4

Para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema:
Então,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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