- (ENEM - 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem
de largura,
de comprimento e
de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm .
b) 6 cm .
c) 11 cm .
d) 24 cm .
a) 5 cm .
b) 6 cm .
c) 11 cm .
d) 24 cm .
Passo 1
O enunciado dá uma barra de chocolate em forma de paralelepípedo e outra em forma de cubo, ambas com o mesmo volume. As informações fornecidas são:
- As arestas do paralelepípedo medem
(largura), (comprimento) e (espessura). - Pede-se a medida da aresta do cubo (ou seja, o comprimento do lado do cubo).
As alternativas são:
a).
b).
c).
d).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula do volume do paralelepípedo (retângulo em 3D). Se as arestas são
,
e
, o volume
é dado por
Aqui
,
e
são os comprimentos das três dimensões (largura, comprimento e espessura).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao paralelepípedo do enunciado, com
,
e
, calculamos o volume passo a passo:
Primeiro
Primeiro
Depois
Portanto o volume do paralelepípedo é
Passo 4
Agora a fórmula do volume de um cubo: se a aresta do cubo mede
, o volume do cubo é
Aqui
é o comprimento da aresta do cubo e o expoente
indica que multiplicamos
por si mesmo três vezes:
.
Passo 5
Como os volumes são iguais (condição do enunciado), igualamos
Para encontrar
precisamos extrair a raiz cúbica de
, ou seja, achar o número que elevado ao cubo dá
.
Passo 6
Uma forma prática é fazer a fatoração de
. Dividindo por
repetidamente:
logo já obtivemos
e sobrou
. E
. Assim
Isso mostra que
é um cubo perfeito:
.
Passo 7
Como
, pela unicidade da potência positiva temos
. Portanto a aresta do cubo mede
. Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)