Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
50.1
,
50.1
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz no intervalo
.
Informações relevantes dadas: e intervalo
. Não há figuras nem outros dados.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Transformo o problema numa raiz de função, que é o jeito padrão de aplicar o TVI. Defino a função
Uma raiz de
é exatamente um ponto
tal que
. Então preciso verificar se existe
com
.
Passo 3
Vou verificar que
é contínua em
, condição necessária para aplicar o TVI.
Explicação didática: funções elementares como (a função identidade) e
(expoencial composta com uma negativa) são contínuas em toda a reta real. A soma e a diferença de funções contínuas são contínuas. Logo
Explicação didática: funções elementares como
é contínua em
. Isso satisfaz a hipótese de continuidade do TVI.
Passo 4
Calculo os valores de
nas extremidades do intervalo, para checar mudança de sinal (o que o TVI exigiria para garantir existência de raiz).
Primeiro,
Sabemos que
(pois
), portanto
. Logo
.
Segundo,
Como
, segue
. Logo
.
Passo 5
Interpretação do TVI: o Teorema do Valor Intermediário diz que se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe
com
. Aqui já verificamos que
é contínua em
, mas encontramos
e
, ou seja, não houve mudança de sinal entre as extremidades. Portanto o TVI não garante (e nem afirma) a existência de raiz em
— não podemos usar o TVI para provar que existe raiz aí.
Passo 6
Posso ir além e mostrar diretamente que, de fato, não existe raiz em
. Para todo
temos
. Também, para todo
,
Combinando, para todo
tem-se
, isto é,
Em particular, para todo
vale
. Logo não existe
tal que
. Portanto não há raiz de
no intervalo
.
Resposta
Não existe raiz de
em
.