Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
50.1
x=e^{-x},
(1,2)

Passo 1

O enunciado fornece a equação \,x=e^{-x}\, e pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz no intervalo (1,2).
Informações relevantes dadas: \,x=e^{-x}\, e intervalo (1,2). Não há figuras nem outros dados.

Passo 2

Transformo o problema numa raiz de função, que é o jeito padrão de aplicar o TVI. Defino a função
f(x)=x-e^{-x}.
Uma raiz de \,x=e^{-x}\, é exatamente um ponto x tal que \,f(x)=0. Então preciso verificar se existe c\in(1,2) com f\text{(c)}=0.

Passo 3

Vou verificar que \,f é contínua em [1,2], condição necessária para aplicar o TVI.
Explicação didática: funções elementares como x\mapsto x (a função identidade) e x\mapsto e^{-x} (expoencial composta com uma negativa) são contínuas em toda a reta real. A soma e a diferença de funções contínuas são contínuas. Logo
f(x)=x-e^{-x}
é contínua em [1,2]. Isso satisfaz a hipótese de continuidade do TVI.

Passo 4

Calculo os valores de f nas extremidades do intervalo, para checar mudança de sinal (o que o TVI exigiria para garantir existência de raiz).
Primeiro,
f(1)=1-e^{-1}.
Sabemos que e^{-1}<1 (pois e>1), portanto 1-e^{-1}>0. Logo f(1)>0.
Segundo,
f(2)=2-e^{-2}.
Como e^{-2}<e^{-1}<1, segue 2-e^{-2}>2-1=1>0. Logo f(2)>0.

Passo 5

Interpretação do TVI: o Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0. Aqui já verificamos que f é contínua em [1,2], mas encontramos f(1)>0 e f(2)>0, ou seja, não houve mudança de sinal entre as extremidades. Portanto o TVI não garante (e nem afirma) a existência de raiz em (1,2) — não podemos usar o TVI para provar que existe raiz aí.

Passo 6

Posso ir além e mostrar diretamente que, de fato, não existe raiz em (1,2). Para todo x>1 temos x>1. Também, para todo x>1,
e^{-x}<e^{-1}<1.
Combinando, para todo x>1 tem-se x>e^{-x}, isto é,
f(x)=x-e^{-x}>0.
Em particular, para todo x\in(1,2) vale f(x)>0. Logo não existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Portanto não há raiz de \,x=e^{-x}\, no intervalo (1,2).

Resposta

Não existe raiz de x=e^{-x} em (1,2).

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