(ENEM/2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6:5:4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4:4:2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a
mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
a) 600,550,350
b) 300,300,150
c) 300,250,200
d) 200,200,100
e) 100,100,50

Passo 1

Beleza, aqui o que temos: José, Carlos e Paulo estão levando um monte de laranjas de bike.
  • Na primeira parte, eles dividem as laranjas na proporção .
  • Na segunda parte, mudam pra proporção .
    A pegadinha é que um deles levou exatamente 50 laranjas a mais na segunda parte do que na primeira.
    Matéria envolvida: razões e proporções.
    O que precisamos:
  1. Entender como transformar uma proporção em quantidades usando um “fator” (ou seja, multiplicar por um número).
  2. Usar o fato de que o total de laranjas não muda de uma parte pra outra.
  3. Montar e resolver uma equação simples pra achar esse fator e, daí, os valores individuais.

Passo 2

Vamos chamar de o fator da primeira parte e de o fator da segunda parte.
  • Primeiro trecho:
    José leva laranjas,
    Carlos leva ,
    Paulo leva .
  • Segundo trecho:
    José leva ,
    Carlos leva ,
    Paulo leva .
Aqui a teoria das proporções diz que, se a razão é , você multiplica cada número por um mesmo pra achar quantas laranjas de fato.

Passo 3

O total de laranjas é o mesmo nos dois trechos.
Somando a primeira parte:
6k + 5k + 4k = 15k
Somando a segunda parte:
4m + 4m + 2m = 10m
Como é o mesmo total, temos
15k = 10m Longrightarrow 3k = 2m Longrightarrow m = tfrac3k2

Passo 4

Agora expressamos cada carga da segunda parte em função de k = 50 :
  • José: .
  • Carlos: .
  • Paulo: .
Comparando com a primeira parte:
  • José tinha e passou a ter → diferença .
  • Carlos tinha e passou a ter → diferença .
  • Paulo tinha e passou a ter → diferença .
Só o Carlos ganhou mais laranjas (diferença positiva) e essa diferença é justamente . Como só um deles ganhou 50, a gente faz

Passo 5

Bastou achar para saber as quantidades na segunda parte:
  • José: .
  • Carlos: .
  • Paulo: .

Resposta

José, Carlos e Paulo transportaram na segunda parte, respectivamente, 300, 300 e 150 laranjas.

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