(ENEM/2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6:5:4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4:4:2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a
mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
a)
b)
c)
d)
e)
mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, aqui o que temos: José, Carlos e Paulo estão levando um monte de laranjas de bike.
- Na primeira parte, eles dividem as laranjas na proporção
. - Na segunda parte, mudam pra proporção
.
A pegadinha é que um deles levou exatamente 50 laranjas a mais na segunda parte do que na primeira.
Matéria envolvida: razões e proporções.
O que precisamos:
- Entender como transformar uma proporção em quantidades usando um “fator” (ou seja, multiplicar por um número).
- Usar o fato de que o total de laranjas não muda de uma parte pra outra.
- Montar e resolver uma equação simples pra achar esse fator e, daí, os valores individuais.
Passo 2
Vamos chamar de
o fator da primeira parte e de
o fator da segunda parte.
- Primeiro trecho:
José levalaranjas,
Carlos leva,
Paulo leva. - Segundo trecho:
José leva,
Carlos leva,
Paulo leva.
Aqui a teoria das proporções diz que, se a razão é
, você multiplica cada número por um mesmo
pra achar quantas laranjas de fato.
Passo 3
O total de laranjas é o mesmo nos dois trechos.
Somando a primeira parte:
Somando a primeira parte:
Somando a segunda parte:
Como é o mesmo total, temos
Passo 4
Agora expressamos cada carga da segunda parte em função de
:
- José:
. - Carlos:
. - Paulo:
.
Comparando com a primeira parte:
- José tinha
e passou a ter → diferença . - Carlos tinha
e passou a ter → diferença . - Paulo tinha
e passou a ter → diferença .
Só o Carlos ganhou mais laranjas (diferença positiva) e essa diferença é justamente
. Como só um deles ganhou 50, a gente faz
Passo 5
Bastou achar
para saber as quantidades na segunda parte:
- José:
. - Carlos:
. - Paulo:
.
Resposta
José, Carlos e Paulo transportaram na segunda parte, respectivamente, 300, 300 e 150 laranjas.