(Energia em campo magnético) Em um solenoide longo, o campo magnético interno tem módulo B=0.25 \mathrm{~T}. O volume ocupado pelo campo é de 1.5 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}.
(a) Calcule a densidade de energia magnética u_{B}.
(b) Determine a energia total armazenada no campo magnético.
(c) Discuta como essa energia poderia ser liberada se a corrente fosse subitamente interrompida.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que está dado e do que é pedido):
  • Dados:
    • O módulo do campo magnético interno no solenoide é \,B=0,25\\ \mathrm{T}\,.
    • O volume ocupado pelo campo é \,V=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\,.
  • Pedidos:
    • (a) Calcular a densidade de energia magnética \,u_{B}\, (energia por unidade de volume).
    • (b) Determinar a energia total armazenada no campo magnético.
    • (c) Discutir como essa energia poderia ser liberada se a corrente fosse subitamente interrompida.

Passo 2

Fórmula e conceitos básicos (aula curta e prática).
  • A densidade de energia magnética no vácuo (ou em um meio não magnético linear) é dada por
u_{B}=\frac{B^{2}}{2\mu},
onde:
  • \,B\, é o módulo do campo magnético (em tesla, \mathrm{T}),
  • \mu é a permeabilidade do meio (para o vácuo \,\mu=\mu_{0}),
  • \,u_{B}\, tem unidades de \mathrm{J/m^{3}}, ou seja, joules por metro cúbico.
  • Para o vácuo (bom para um solenoide com núcleo de ar), vale
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Explicação do porquê dessa fórmula (intuição curta): a energia magnética por unidade de volume pode ser obtida mostrando que a energia total numa região preenchida por campo é a integral de \tfrac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H} e, em meios lineares, \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu, o que leva a \tfrac{B^{2}}{2\mu}. Outra maneira prática: a energia armazenada em um indutor é \tfrac{1}{2}LI^{2} — essa energia está realmente armazenada no campo magnético ao redor das bobinas; as duas formulas são consistentes.

Passo 3

Cálculo numérico da densidade de energia \,u_{B}\,.
  • Substituindo \,B=0{,}25\\ \mathrm{T}\, e \,\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\, na fórmula:
u_{B}=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{(0{,}25)^{2}}{2\left(4\pi\times10^{-7}\right)}.
  • Calcule passo a passo:
    • (0{,}25)^{2}=0{,}0625.
    • 2\mu_{0}=2\cdot4\pi\times10^{-7}=8\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx2{,}513274123\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
    • Agora a divisão:
u_{B}=\frac{0{,}0625}{2{,}513274123\times10^{-6}}\approx2{,}4881\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
  • Arredondando sensatamente (três algarismos significativos):
u_{B}\approx2{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 4

Cálculo da energia total armazenada U.
  • A energia total é a densidade multiplicada pelo volume:
U=u_{B}\,V.
  • Substituindo u_{B}\approx2{,}4881\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}} e V=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}:
U\approx\left(2{,}4881\times10^{4}\right)\left(1{,}5\times10^{-3}\right).
  • Multiplicando:
    • 2{,}4881\times10^{4}\times1{,}5\times10^{-3}=2{,}4881\times1{,}5\times10^{4-3}=3{,}73215\times10^{1}.
    • Portanto U\approx37{,}32\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando a três algarismos significativos:
U\approx37{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relação com a energia de um indutor (intuição adicional).
  • Em circuitos, a mesma energia aparece na expressão clássica para um indutor:
U=\frac{1}{2}LI^{2},
onde \,L\, é a indutância e \,I\, a corrente. Isso significa que a energia calculada pelo campo magnético corresponde à energia eletromagnética armazenada pela corrente que gera esse campo.

Passo 6

Discussão física: como a energia seria liberada se a corrente fosse subitamente interrompida (resposta didática e aplicada).
  • O que acontece fisicamente quando a corrente muda rápido:
    • O campo magnético dependente da corrente colapsa quando a corrente cai.
    • A variação do fluxo magnético no circuito gera, pela Lei de Faraday, uma fem induzida que tende a manter a corrente (Lei de Lenz). Em um indutor ideal a fem é
\mathcal{E}=-L\,\frac{dI}{dt}.
  • Se a interrupção é muito rápida ( \frac{dI}{dt} grande), a fem pode ficar muito alta — isso gera uma alta tensão nos terminais do indutor.
  • Meios pelos quais a energia armazenada é dissipada/convertida:
    1. Centelhamento/arreio (faísca): a alta tensão pode ionizar o ar e produzir um arco elétrico entre os terminais; o arco permite que a corrente continue por um curto período, convertendo a energia em luz, calor e som.
    2. Aquecimento (dissipação resistiva): se houver resistência no circuito ou se a energia for forçada a passar por um resistor de fuga intencional, a energia vira calor (efeito Joule).
    3. Radiação eletromagnética: mudanças rápidas no campo geram pulsos eletromagnéticos que irradiam parte da energia para o espaço (micro-ondas, rádio etc.), normalmente pequena mas real em comutações rápidas.
    4. Correntes parasitas (Foucault) e aquecimento em partes metálicas próximas: o campo variável induz correntes em condutores próximos, que aquecem esses condutores.
    5. Trabalho mecânico: em alguns arranjos, a energia magnética pode produzir forças que deslocam partes móveis; a energia então vira energia cinética e posteriormente calor.
  • Como proteger/gerenciar isso na prática (dica útil para prova e laboratórios):
    • Usar um caminho controlado para dissipar a energia: resistor de frenagem, “snubber” RC, diodo flyback (em casos de corrente contínua com chaveamento), varistor, supressor de surto, ou uma carga de descarga que absorva a energia sem faísca livre.
    • Sem proteção, a tendência é centelhamento e danos a componentes devido à alta tensão gerada.
  • Intuição numérica: aqui a energia total armazenada era da ordem de \sim37\\ \mathrm{J}. Isso é energia suficiente para aquecer algumas gramas de água ou causar um arco visível — não é enorme mas é considerável e suficiente para danificar componentes se não for controlada.

Resposta

(a) u_{B}\approx2{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}
(b) U\approx37{,}3\\ \mathrm{J}
(c) A energia é liberada quando o campo colapsa: a variação de fluxo gera uma alta fem ( \mathcal{E}=-L\,dI/dt) e a energia é dissipada como calor (resistência), centelhamento/arco, radiação eletromagnética, correntes de Foucault ou trabalho mecânico; por isso se usam snubbers, diodos de flyback ou resistores para dissipation controlada.

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