(Autoindução e indutância) Uma bobina de indutância L=0.50 \mathrm{H} está em série com um resistor de resistência R= 10 \Omega. Uma corrente I(t) percorre o circuito.
(a) Escreva a expressão da f.e.m. autoinduzida em função de I(t).
(b) Suponha que a corrente cresça linearmente de 0 a 2.0 A em 0.50 s . Calcule a f.e.m. média autoinduzida nesse intervalo.
(c) Se o crescimento da corrente se desse em 0.10 s , qual seria a nova f.e.m. média autoinduzida?
(d) Discuta por que variações rápidas de corrente podem ser perigosas em circuitos com alta indutância.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede coisas específicas:
  • Dados fornecidos:
    • Indutância da bobina: L=0,50\\ \mathrm{H}.
    • Resistência em série: R=10\\ \Omega.
    • Existe uma corrente I(t) no circuito que varia com o tempo.
    • Em (b) a corrente cresce linearmente de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{A} em 0{,}50\\ \mathrm{s}.
    • Em (c) a corrente cresce (também supondo linearidade) de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{A} em 0{,}10\\ \mathrm{s}.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Escrever a expressão da f.e.m. autoinduzida em função de I(t).
    (b) Calcular a f.e.m. média autoinduzida quando I cresce linearmente de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{A} em 0{,}50\\ \mathrm{s}.
    (c) Repetir o cálculo da f.e.m. média se o crescimento ocorrer em 0{,}10\\ \mathrm{s}.
    (d) Discutir por que variações rápidas de corrente podem ser perigosas em circuitos com alta indutância.

Passo 2

A fórmula que relaciona a f.e.m. autoinduzida com a variação da corrente: apresentação e explicação física e matemática.
  • Fórmula: a f.e.m. (força eletromotriz) autoinduzida em uma bobina de indutância L é dada por
\mathcal{E}(t) = -\,L\,\frac{dI}{dt}.
  • O que significa cada símbolo:
    • \mathcal{E}(t) é a f.e.m. instantânea (em volts) gerada pela própria bobina em função do tempo.
    • L é a indutância da bobina (em henry, \mathrm{H}).
    • \dfrac{dI}{dt} é a derivada temporal da corrente — ou seja, a taxa instantânea de variação da corrente (em \mathrm{A/s}).
    • O sinal negativo provém da lei de Lenz: a f.e.m. induzida age de forma a OPOR-SE à variação da corrente que a produz. Se a corrente aumenta ( dI/dt>0), então \mathcal{E}<0 (a bobina gera uma tensão que tende a reduzir o aumento); se a corrente diminui ( dI/dt<0), então \mathcal{E}>0.
  • Quando o enunciado pede “f.e.m. média” durante um intervalo em que a corrente varia linearmente, \dfrac{dI}{dt} é constante nesse intervalo, então a f.e.m. instantânea é constante e igual à f.e.m. média. Se fosse uma variação não linear, a f.e.m. média seria a mudança total de corrente dividida pelo tempo vezes -L:
\mathcal{E}_\text{média} = -L\\ \frac{\Delta I}{\Delta t}.é

Passo 3

Cálculo da f.e.m. média para o caso de crescimento linear de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{A} em 0{,}50\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro calculo a taxa de variação da corrente:
\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{2{,}0-0}{0{,}50}= \frac{2{,}0}{0{,}50}=4{,}0\\ \mathrm{A/s}.
  • Aplicando a fórmula da f.e.m. média:
\mathcal{E}_\text{média} = -L\,\frac{\Delta I}{\Delta t} = -0{,}50\cdot 4{,}0 = -2{,}0\\ \mathrm{V}.é
  • Interpretação: a f.e.m. média vale -2{,}0\\ \mathrm{V}. O sinal negativo indica que a bobina gera uma tensão que se opõe ao aumento da corrente (ou seja, a polaridade se estabelece para tentar reduzir a subida de corrente). Em valor absoluto: 2{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Cálculo da f.e.m. média para o caso de crescimento linear de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{A} em 0{,}10\\ \mathrm{s}.
  • Taxa de variação da corrente:
\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{2{,}0-0}{0{,}10}= \frac{2{,}0}{0{,}10}=20\\ \mathrm{A/s}.
  • Aplicando a fórmula:
\mathcal{E}_\text{média} = -L\,\frac{\Delta I}{\Delta t} = -0{,}50\cdot 20 = -10\\ \mathrm{V}.é
  • Interpretação: a f.e.m. média é -10\\ \mathrm{V} (módulo 10\\ \mathrm{V}). Note como diminuir o tempo de variação (ou seja, variar a corrente mais rapidamente) aumenta bastante a f.e.m. induzida, porque \mathcal{E} escala com \dfrac{dI}{dt}.

Passo 5

Discussão didática e física: por que variações rápidas de corrente podem ser perigosas em circuitos com alta indutância — explicação passo a passo e exemplos práticos.
  • Energia armazenada na bobina: uma bobina que conduz corrente armazena energia magnética dada por
U=\tfrac{1}{2}L I^2.
Se a corrente muda rapidamente ou é interrompida de repente, essa energia precisa ir para algum lugar — pode causar picos de tensão elevados ou arcos elétricos (faíscas) quando os contatos são abertos.
  • Relação com \dfrac{dI}{dt}: a tensão induzida é \mathcal{E}=-L\,\dfrac{dI}{dt}. Para grande L e grande |\dfrac{dI}{dt}|, a tensão pode alcançar valores altos (muitos volts ou dezenas/centenas de volts), suficientes para:
    • produzir centelhamento em interruptores e contatos (danificando-os);
    • romper a isolação de componentes, causando curtos;
    • gerar sobretensões que danificam componentes eletrônicos sensíveis (transistores, diodos, CI);
    • causar picos que geram interferência eletromagnética (EMI) em circuitos próximos.
  • Exemplo prático: ao abrir abruptamente um circuito que tinha corrente, a corrente tenta cair rapidamente ( dI/dt muito negativo), então a bobina pode gerar uma tensão alta com polaridade que mantém a corrente — isso produz faísca no interruptor ou picos que chegam a danificar sem proteção.
  • Proteções comuns:
    • Diodo de roda-livre (flyback) em circuitos DC indutivos (por exemplo, relés, bobinas) para clamar a tensão e permitir a corrente decair suavemente.
    • Snubbers RC ou varistores/TVS para dissipar energia e limitar picos.
    • Resistores em série para reduzir \dfrac{dI}{dt} ao comutar.
    • Projeto com indutâncias menores ou com medidas de proteção em dispositivos de potência.
  • Nota técnica adicional (útil para prova): o circuito RL em resposta a uma tensão em degrau não tem variação linear de corrente — tem uma subida/exponencial com constante de tempo \tau=\dfrac{L}{R}. Neste problema foi pedido cálculo assumindo variação linear, o que é uma simplificação. Para referência, com os dados dados:
\tau=\frac{L}{R}=\frac{0{,}50}{10}=0{,}05\\ \mathrm{s}.
Isso significa que em 0{,}50\\ \mathrm{s} (10\tau) a corrente já estaria muito próxima do valor final; em 0{,}10\\ \mathrm{s} (2\tau) ela teria percorrido parte significativa da subida. Mas a fórmula usada aqui para a f.e.m. média é válida para o caso linear pedido e ilustra bem a dependência direta com \dfrac{dI}{dt}.
  • Ânimo: é normal ficar confuso com esses sinais e conceitos de energia, mas a regra prática que você pode levar para a prova é: variação rápida de corrente + alta indutância = grande tensão induzida (possível problema). Aprender a aplicar \mathcal{E}=-L\,dI/dt resolve esses exercícios direto.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{E}(t) = -\,L\,\frac{dI}{dt} = -\,0{,}50\,\frac{dI}{dt}.
(b) \displaystyle \mathcal{E}_\text{média} = -2{,}0\\ \mathrm{V}.é
(c) \displaystyle \mathcal{E}_\text{média} = -10\\ \mathrm{V}.é
(d) Variações rápidas de corrente em bobinas de alta indutância geram \mathcal{E}=-L\,dI/dt grandes, podendo causar picos de tensão, faíscas, danos à isolação e a componentes eletrônicos; por isso usa-se diodos de roda‑livre, snubbers e outros dispositivos de proteção.

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