A energia cinética é dada pelo produto entre a massa (kg) e o quadrado da velocidade (m/s) dividido por dois. Mostre que sua unidade é o Joule. Explicar a relação entre as unidades: Joule e elétronvolts.

Passo 1

O enunciado diz que a energia cinética é dada pela fórmula \displaystyle E_k=\frac{1}{2}mv^2. As informações que temos explicitamente são:
  • massa com unidade \displaystyle \text{kg} (quilograma);
  • velocidade com unidade \displaystyle \text{m/s} (metro por segundo).
    As perguntas que o enunciado pede que mostremos são:
  1. Mostrar que a unidade de \displaystyle E_k é o Joule.
  2. Explicar a relação entre o Joule e o elétronvolt (eV).

Passo 2

Vamos colocar as unidades dentro da fórmula para ver a unidade de \displaystyle E_k. A fórmula é
\displaystyle E_k=\frac{1}{2}mv^2.
A constante 1/2 é adimensional (não muda unidades). Então a unidade de \displaystyle E_k vem de m multiplicado por v^2. Substituindo unidades:
\text{unidade}(E_k)=\text{kg}\times\bigl(\text{m/s}\bigr)^2.
Agora desenvolvemos \bigl(\text{m/s}\bigr)^2:
\bigl(\text{m/s}\bigr)^2=\text{m}^2/\text{s}^2.
Portanto
\text{unidade}(E_k)=\text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2}.

Passo 3

Agora explico por que \displaystyle \text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2} é o Joule. Na definição de unidades do SI:
  • a força tem unidade Newton ( \displaystyle \text{N}), e pela segunda lei de Newton \displaystyle F=ma temos \displaystyle \text{N}=\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2};
  • trabalho ou energia é força vezes deslocamento, logo a unidade de energia é \displaystyle \text{N}\cdot\text{m}.
    Substituindo \displaystyle \text{N}=\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2} em \displaystyle \text{N}\cdot\text{m}:
\text{N}\cdot\text{m}=(\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2})\cdot\text{m}=\text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2}.
Por definição do SI, \displaystyle 1\\ \text{J}=1\\ \text{N}\cdot\text{m}. Portanto
\text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2}= \text{J}.
Concluímos que a unidade de \displaystyle E_k é o Joule.

Passo 4

Um exemplo numérico simples para fixar: se m=1\\ \text{kg} e v=1\\ \text{m/s}, então \displaystyle E_k=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1^2=0{,}5. A unidade é \text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2}, ou seja 0{,}5\\ \text{J}. Isso mostra concretamente que a fórmula produz Joules.

Passo 5

Agora a relação entre Joule e elétronvolt. Por definição, um elétronvolt é a energia ganha por uma carga elementar ao atravessar uma diferença de potencial de 1\\ \text{V}. Escrevemos:
1\\ \text{eV} = e\cdot 1\\ \text{V},
onde e é a carga elementar. Sabemos que 1\\ \text{V}=1\\ \text{J/C} (volt = joule por coulomb). Substituindo:
1\\ \text{eV} = e\cdot 1\\ \text{J/C}=e\\ \text{J/C}\cdot\text{C}=e\\ \text{J}.
A carga elementar tem valor (definido exatamente no SI)
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{C}.
Portanto
1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.
O inverso também é útil:
1\\ \text{J}=\frac{1}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 6{,}241509074\times10^{18}\\ \text{eV}.

Passo 6

Para fixar com exemplos práticos:
  • uma energia típica na escala atômica é de ordem de 1\\ \text{eV}, que é muito pequena em joules: 1{,}6\times10^{-19}\\ \text{J}.
  • a energia térmica média a temperatura ambiente ( \approx 300\\ \text{K}) é \displaystyle k_B T com k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K}, então
k_B T \approx 1{,}380649\times10^{-23}\times 300 \\ \text{J}\approx 4{,}14\times10^{-21}\\ \text{J}\approx 0{,}0259\\ \text{eV}.
Isso mostra por que físicos de partículas e de átomos usam eV (escala prática) enquanto engenheiros usam J (SI macroscópico). A conversão é sempre feita pelo fator 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.

Resposta

A unidade de \displaystyle E_k=\tfrac{1}{2}mv^2 é \displaystyle \text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-2}, que é o Joule ( \text{J}).
Relação entre Joule e elétronvolt: \displaystyle 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J} e \displaystyle 1\\ \text{J}\approx 6{,}241509074\times10^{18}\\ \text{eV}.

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