Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - O numerador é
, portanto para o numerador é não negativo e o denominador é sempre positivo, então para . - Para séries infinitas, o comportamento da cauda (ou seja, a partir de algum
) determina convergência/divergência. Se a soma dos termos a partir de diverge, então a série inteira diverge.
Passo 2
Intuição sobre o comportamento dos termos para
grande:
- Quando
tende a infinito, termos polinomiais são dominados pelos termos de maior grau. Aqui o numerador tem grau e o denominador grau . - Logo, para
grande, deve se comportar aproximadamente como . - A série harmônica
é conhecida por divergir. Se tem comportamento assintótico parecido com , é natural comparar com a harmônica.
Passo 3
Apresentação do teste que vamos usar (Teste da Comparação por Limite — Limit Comparison Test):
- Seja
e para suficientemente grande. Se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- No nosso caso escolhemos
(a série harmônica), pois a intuição diz que se comporta como quando é grande. - Nota importante: como mencionado no Passo 1, precisamos apenas que
a partir de algum ; já verificamos que isso acontece para , então o teste se aplica à cauda da série.
Passo 4
Aplicação do Teste da Comparação por Limite: calcular o limite
Faço a simplificação algébrica:
Divido numerador e denominador por
para obter o limite mais facilmente:
Agora passo ao limite quando
:
Portanto
, que é um número finito e estritamente positivo.
Passo 5
Conclusão a partir do limite encontrado:
- Pelo Teste da Comparação por Limite e pelo fato de que
para , as séries e possuem o mesmo comportamento. - Como
(a série harmônica) diverge, segue que também diverge. - Pequena observação de prova técnica: mesmo que alguns primeiros termos (
) sejam negativos ou finitos, alterar ou adicionar um número finito de termos não altera convergência/divergência. O que conta é a soma da cauda, e a cauda diverge.
Resposta
A série diverge.