Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-5 n}{n^{3}+n+1}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-5n}{n^{3}+n+1}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{n^{2}-5n}{n^{3}+n+1}.
  • O numerador é \displaystyle n^{2}-5n=n(n-5), portanto para \displaystyle n\ge 5 o numerador é não negativo e o denominador é sempre positivo, então \displaystyle a_n\ge 0 para \displaystyle n\ge 5.
  • Para séries infinitas, o comportamento da cauda (ou seja, a partir de algum N) determina convergência/divergência. Se a soma dos termos a partir de \displaystyle n=N diverge, então a série inteira diverge.

Passo 2

Intuição sobre o comportamento dos termos para n grande:
  • Quando n tende a infinito, termos polinomiais são dominados pelos termos de maior grau. Aqui o numerador tem grau 2 e o denominador grau 3.
  • Logo, para n grande, a_n deve se comportar aproximadamente como \displaystyle \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.
  • A série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é conhecida por divergir. Se a_n tem comportamento assintótico parecido com \displaystyle \frac{1}{n}, é natural comparar com a harmônica.

Passo 3

Apresentação do teste que vamos usar (Teste da Comparação por Limite — Limit Comparison Test):
  • Seja \displaystyle a_n\ge 0 e \displaystyle b_n>0 para n suficientemente grande. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então \displaystyle \sum a_n e \displaystyle \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • No nosso caso escolhemos \displaystyle b_n=\frac{1}{n} (a série harmônica), pois a intuição diz que a_n se comporta como \displaystyle \frac{1}{n} quando n é grande.
  • Nota importante: como mencionado no Passo 1, precisamos apenas que \displaystyle a_n\ge 0 a partir de algum N; já verificamos que isso acontece para \displaystyle n\ge 5, então o teste se aplica à cauda da série.

Passo 4

Aplicação do Teste da Comparação por Limite: calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}-5n}{n^{3}+n+1}}{\dfrac{1}{n}}.
Faço a simplificação algébrica:
\frac{a_n}{b_n}=n\cdot\frac{n^{2}-5n}{n^{3}+n+1} =\frac{n^{3}-5n^{2}}{n^{3}+n+1}.
Divido numerador e denominador por n^{3} para obter o limite mais facilmente:
\frac{n^{3}-5n^{2}}{n^{3}+n+1} =\frac{1-\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora passo ao limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}} =\frac{1-0}{1+0+0}=1.
Portanto L=1, que é um número finito e estritamente positivo.

Passo 5

Conclusão a partir do limite encontrado:
  • Pelo Teste da Comparação por Limite e pelo fato de que \displaystyle a_n\ge 0 para \displaystyle n\ge 5, as séries \displaystyle \sum a_n e \displaystyle \sum b_n possuem o mesmo comportamento.
  • Como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}-5n}{n^{3}+n+1} também diverge.
  • Pequena observação de prova técnica: mesmo que alguns primeiros termos ( n=1,2,3,4) sejam negativos ou finitos, alterar ou adicionar um número finito de termos não altera convergência/divergência. O que conta é a soma da cauda, e a cauda diverge.

Resposta

A série diverge.

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