Energia cinética e energia potencial gravitacional são propriedades extensivas de um sistema fechado. Explique. Mostre a expressão de cada uma dessas energias para um meio contínuo genérico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a energia cinética e a energia potencial gravitacional são propriedades extensivas de um sistema fechado e, em seguida, escrever as fórmulas gerais dessas energias para um meio contínuo (campo de densidade de massa). Para isso vamos usar o conceito de extensividade e as integrais em volume de um meio contínuo.
Passo 2
Uma propriedade é dita extensiva quando, ao duplicar a massa (ou o volume) do sistema mantendo tudo igual, essa grandeza também duplica. Em outras palavras, extensivas dependem do “tamanho” do corpo. Tanto a energia cinética quanto a potencial gravitacional de um conjunto de partículas somam-se sobre cada partícula ou elemento de volume, de modo que ao aumentarmos o volume (em um sistema fechado, sem troca de massa) a energia total cresce proporcionalmente à massa.
Passo 3
Para um meio contínuo ocupando um domínio \mathcal{V} com densidade de massa \rho(\mathbf{x}) e campo de velocidades \mathbf{v}(\mathbf{x}), a energia cinética total \mathcal{K} é a soma de \tfrac{1}{2} m v^2 de cada pequeníssimo elemento de massa \rho\,dV. Logo,
Similarmente, se a gravidade é descrita por um potencial escalar \Phi(\mathbf{x}) — por exemplo \Phi(\mathbf{x})=g\,z num campo uniforme de intensidade g — cada elemento de massa \rho\,dV armazena energia potencial \rho\,\Phi\,dV. Assim, a energia potencial gravitacional total \mathcal{P} é
A energia cinética e a energia potencial gravitacional são extensivas porque se formam somando contribuições de cada elemento de massa, crescendo proporcionalmente à massa total do sistema.