1. A energia dos níveis ligados do átomo de hidrogênio é
E_{n}=-\frac{13.6 \mathrm{eV}}{n^{2}}
(a) Calcule as energias para n=1,2,3.
(b) Determine o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=3 \rightarrow n= 2.

Passo 1

O enunciado fornece a expressão da energia dos níveis ligados do átomo de hidrogênio:
E_{n}=-\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular as energias para n=1,2,3.
  • (b) Determinar o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=3\rightarrow n=2.
Informações úteis que vou usar (constantes físicas, pois o enunciado dá a energia em elétron-volt e a relação entre energia do fóton e comprimento de onda envolve constantes em unidades SI):
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, \qquad c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \qquad 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Entender a fórmula e calcular E_n em elétron-volt (eV).
A fórmula dada significa que para cada número quântico principal n a energia é negativa (estado ligado) e vale
E_n=-\frac{13,6}{n^{2}}\\ \mathrm{eV},
onde 13,6 está em unidades de \mathrm{eV} e n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Vou aplicar a fórmula para cada n:
Para n=1:
E_{1}=-\frac{13,6}{1^{2}}=-13,6\\ \mathrm{eV}.
Para n=2:
E_{2}=-\frac{13,6}{2^{2}}=-\frac{13,6}{4}=-3,4\\ \mathrm{eV}.
Para n=3:
E_{3}=-\frac{13,6}{3^{2}}=-\frac{13,6}{9}=-1,511\overline{1}\\ \mathrm{eV}\approx-1,511\\ \mathrm{eV}.
Comentário rápido e motivador: as energias ficam menos negativas conforme n aumenta — isto é porque o elétron está menos ligado ao núcleo em níveis mais altos.

Passo 3

Converter as energias de eV para joule (J) — preciso disso para usar E=h c/\lambda.
Conversão direta: multiplicar por 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para E_{1}:
E_{1}=-13,6\\ \mathrm{eV}=-13,6\times(1,602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J}=-2,179\dots\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
E_{1}\approx-2,179\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Para E_{2}:
E_{2}=-3,4\\ \mathrm{eV}=-3,4\times(1,602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J}=-5,447400556\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
ou seja
E_{2}\approx-5,447\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para E_{3}:
E_{3}=-\frac{13,6}{9}\\ \mathrm{eV}\approx-1,511111111\\ \mathrm{eV},
E_{3}\approx-1,511111111\times(1,602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J}\approx-2,421066911\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
ou seja
E_{3}\approx-2,421\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia do fóton emitido na transição n=3\rightarrow n=2.
Regra física: quando o átomo faz a transição de um nível inicial i para um nível final f com E_i>E_f (mais energético para menos energético), a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{i}-E_{f}.
Aqui i=3 e f=2, então
\Delta E = E_{3}-E_{2}.
Usando os valores em \mathrm{eV} (mais simples para manipular):
\Delta E = -\frac{13,6}{9} - \left(-\frac{13,6}{4}\right) = 13,6\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right) =13,6\left(\frac{9-4}{36}\right) =13,6\cdot\frac{5}{36}.
Calcule:
\Delta E=\frac{13,6\cdot5}{36}=\frac{68}{36}=1,888\overline{8}\\ \mathrm{eV}\approx1,8889\\ \mathrm{eV}.
Converter para joule:
\Delta E = 1,888\overline{8}\times(1,602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J}\approx3,026333642\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Determinar o comprimento de onda \lambda do fóton usando a relação entre energia e comprimento de onda:
E_{\text{fóton}}=\Delta E=\frac{h c}{\lambda}.ó
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{h c}{\Delta E}.
Substituindo valores (usar \Delta E em joule):
h c = (6,62607015\times10^{-34})\cdot(2,99792458\times10^{8})\\ \mathrm{J\,m}=1,986445857\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Logo
\lambda=\frac{1,986445857\times10^{-25}}{3,026333642\times10^{-19}}\\ \mathrm{m} \approx6,56328996\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx656,329\\ \mathrm{nm}\approx656,3\\ \mathrm{nm}.
Interpretação curta e motivadora: esse comprimento de onda está na faixa visível (vermelho) — a famosa linha H_{\alpha} da série de Balmer.

Passo 6

Resumo dos resultados (antes de colocar apenas a resposta final): calculei E_1,E_2,E_3 em \mathrm{eV} e em \mathrm{J}, obtive a energia do fóton emitido na transição 3\to2 e converti isso em comprimento de onda.

Resposta

(a) E_{1}=-13,6\\ \mathrm{eV}\approx-2,179\times10^{-18}\\ \mathrm{J}
(a) E_{2}=-3,4\\ \mathrm{eV}\approx-5,447\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
(a) E_{3}=-\dfrac{13,6}{9}\\ \mathrm{eV}\approx-1,511\\ \mathrm{eV}\approx-2,421\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
(b) \lambda=\dfrac{hc}{E_{3}-E_{2}}\approx656,3\\ \mathrm{nm}

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