27.8 • PC Uma partícula com carga de -5,60 \mathrm{nC} está se movendo em um campo magnético uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=-(1,25 \mathrm{~T}) \hat{\boldsymbol{k}}. A força magnética que atua sobre a partícula é medida como \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=-\left(3,40 \times 10^{-7} \mathrm{~N}\right) \hat{\imath}+\left(7,40 \times 10^{-7} \mathrm{~N}\right) \hat{\jmath}. (a) Calcule todos os componentes da velocidade da partícula que puder, a partir dessa informação. (b) Há componentes da velocidade que não são determinados pela medição da força? Explique. (c) Calcule o produto escalar \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{F}}. Qual é o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{v}} e \overrightarrow{\boldsymbol{F}} ?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara).
Carga da partícula: q=-5{,}60\\ \mathrm{nC}. Vou transformar para SI: q=-5{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Campo magnético uniforme: \overrightarrow{B}=-(1{,}25\\ \mathrm{T})\,\hat{k}. Em componentes: \overrightarrow{B}=(0,0,-1{,}25)\\ \mathrm{T}.
Força magnética medida: \overrightarrow{F}=-\bigl(3{,}40\times10^{-7}\\ \mathrm{N}\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(7{,}40\times10^{-7}\\ \mathrm{N}\bigr)\,\hat{\jmath}. Em componentes: \overrightarrow{F}=\bigl(-3{,}40\times10^{-7},\;7{,}40\times10^{-7},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.
O enunciado pede:
(a) calcular todos os componentes da velocidade que puder a partir dessa informação;
(b) dizer se há componentes da velocidade que não são determinados e explicar por quê;
(c) calcular o produto escalar \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F} e o ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F}.
Passo 2
Relembrando a fórmula e como transformá-la em equações para componentes (aula rápida sobre força magnética).
A força magnética sobre uma partícula de carga q com velocidade \overrightarrow{v} em campo \overrightarrow{B} é dada por
Explicando a fórmula: \overrightarrow{v} é a velocidade (com componentes v_x,v_y,v_z), \overrightarrow{B} é o campo magnético, \times é o produto vetorial (cross product) que gera um vetor perpendicular a \overrightarrow{v} e \overrightarrow{B}. O sinal de q define a direção final da força.
Vou escrever \overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z) e \overrightarrow{B}=(0,0,-1{,}25). Calculamos \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B} componente a componente:
Discussão didática sobre v_z e por que ele não aparece nas equações (resposta à parte (b)).
Observação importante: a componente z da força é zero (F_z=0) e, ao calcular \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}, a componente z saiu zero independentemente de v_z. Isso ocorre porque \overrightarrow{B} está na direção z (própria \hat{k}); qualquer componente de \overrightarrow{v} paralela a \overrightarrow{B} (isto é, v_z) não contribui para \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}.
Em palavras simples: o produto vetorial pega só a parte de \overrightarrow{v} perpendicular a \overrightarrow{B}. A componente de \overrightarrow{v} paralela ao campo magnético é “invisível” para a força magnética.
Conclusão: não é possível determinar v_z a partir da medida de \overrightarrow{F} e \overrightarrow{B}. Portanto v_z é arbitrária — a família de velocidades compatíveis é
porque o produto escalar de um vetor com um vetor perpendicular a ele é zero. Como \overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}), temos
Somando dá zero (até erros de arredondamento), confirmando o resultado teórico:
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=0.
Passo 6
Determinar o ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F}.
A definição: \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=|\overrightarrow{v}|\,|\overrightarrow{F}|\,\cos\theta, logo se o produto escalar é zero então \cos\theta=0.
Assim \theta=90^\circ (ou em radianos \theta=\tfrac{\pi}{2}).
Interpretação física curta e simpática: a força magnética é sempre perpendicular à velocidade instantânea (quando a força é puramente magnética), portanto ela não realiza trabalho sobre a partícula — isto aparece matematicamente pelo produto escalar nulo.
Resposta
(a) \overrightarrow{v} tem componentes determinadas v_x\approx -1{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{m/s} e v_y\approx -4{,}86\times10^{1}\\ \mathrm{m/s}. A componente v_z não é determinada pela medição e pode ser qualquer valor; portanto
(b) Sim. A componente v_z (paralela a \overrightarrow{B}) não é determinada, pois a força magnética depende apenas da parte de \overrightarrow{v} perpendicular a \overrightarrow{B} — componentes paralelas a \overrightarrow{B} não aparecem no produto vetorial.
(c) \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=0. O ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F} é \,90^\circ.