27.8 • PC Uma partícula com carga de -5,60 \mathrm{nC} está se movendo em um campo magnético uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=-(1,25 \mathrm{~T}) \hat{\boldsymbol{k}}. A força magnética que atua sobre a partícula é medida como \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=-\left(3,40 \times 10^{-7} \mathrm{~N}\right) \hat{\imath}+\left(7,40 \times 10^{-7} \mathrm{~N}\right) \hat{\jmath}. (a) Calcule todos os componentes da velocidade da partícula que puder, a partir dessa informação. (b) Há componentes da velocidade que não são determinados pela medição da força? Explique. (c) Calcule o produto escalar \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{F}}. Qual é o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{v}} e \overrightarrow{\boldsymbol{F}} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara).
  • Carga da partícula: q=-5{,}60\\ \mathrm{nC}. Vou transformar para SI: q=-5{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Campo magnético uniforme: \overrightarrow{B}=-(1{,}25\\ \mathrm{T})\,\hat{k}. Em componentes: \overrightarrow{B}=(0,0,-1{,}25)\\ \mathrm{T}.
  • Força magnética medida: \overrightarrow{F}=-\bigl(3{,}40\times10^{-7}\\ \mathrm{N}\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(7{,}40\times10^{-7}\\ \mathrm{N}\bigr)\,\hat{\jmath}. Em componentes: \overrightarrow{F}=\bigl(-3{,}40\times10^{-7},\;7{,}40\times10^{-7},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.
  • O enunciado pede:
    (a) calcular todos os componentes da velocidade que puder a partir dessa informação;
    (b) dizer se há componentes da velocidade que não são determinados e explicar por quê;
    (c) calcular o produto escalar \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F} e o ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F}.

Passo 2

Relembrando a fórmula e como transformá-la em equações para componentes (aula rápida sobre força magnética).
  • A força magnética sobre uma partícula de carga q com velocidade \overrightarrow{v} em campo \overrightarrow{B} é dada por
\overrightarrow{F}=q\,\bigl(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\bigr).
  • Explicando a fórmula: \overrightarrow{v} é a velocidade (com componentes v_x,v_y,v_z), \overrightarrow{B} é o campo magnético, \times é o produto vetorial (cross product) que gera um vetor perpendicular a \overrightarrow{v} e \overrightarrow{B}. O sinal de q define a direção final da força.
  • Vou escrever \overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z) e \overrightarrow{B}=(0,0,-1{,}25). Calculamos \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B} componente a componente:
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] 0 & 0 & -1{,}25 \end{vmatrix}.
Calculando o determinante (mostrando o passo):
  • Componente x: (v_y)(-1{,}25) - (v_z)(0) = -1{,}25\,v_y.
  • Componente y: -\bigl((v_x)(-1{,}25)-(v_z)(0)\bigr) = +1{,}25\,v_x.
  • Componente z: (v_x)(0)-(v_y)(0)=0.
    Logo
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B} = \bigl(-1{,}25\,v_y,\;1{,}25\,v_x,\;0\bigr).
Multiplicando por q,
\overrightarrow{F}=q\,\bigl(-1{,}25\,v_y,\;1{,}25\,v_x,\;0\bigr).]

Passo 3

Extrair equações escalares das componentes e resolver para v_x e v_y.
  • Das componentes vemos:
F_x = q\bigl(-1{,}25\,v_y\bigr),\qquad F_y = q\bigl(1{,}25\,v_x\bigr),\qquad F_z = 0.
  • Isolando v_x e v_y:
v_x=\dfrac{F_y}{1{,}25\,q},\qquad v_y=-\dfrac{F_x}{1{,}25\,q}.
  • Substituo os valores numéricos (lembrando q=-5{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{C}):
1{,}25\,q = 1{,}25\cdot(-5{,}60\times10^{-9}) = -7{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Agora:
v_x=\dfrac{7{,}40\times10^{-7}}{-7{,}00\times10^{-9}} =\dfrac{7{,}40}{-7{,}00}\times10^{2} \approx -105{,}7142857\\ \mathrm{m/s},
v_y=-\dfrac{-3{,}40\times10^{-7}}{-7{,}00\times10^{-9}} =-\dfrac{-3{,}40}{-7{,}00}\times10^{2} \approx -48{,}5714286\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (coerente com dados dados):
v_x\approx -1{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{m/s},\qquad v_y\approx -4{,}86\times10^{1}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Discussão didática sobre v_z e por que ele não aparece nas equações (resposta à parte (b)).
  • Observação importante: a componente z da força é zero ( F_z=0) e, ao calcular \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}, a componente z saiu zero independentemente de v_z. Isso ocorre porque \overrightarrow{B} está na direção z (própria \hat{k}); qualquer componente de \overrightarrow{v} paralela a \overrightarrow{B} (isto é, v_z) não contribui para \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}.
  • Em palavras simples: o produto vetorial pega só a parte de \overrightarrow{v} perpendicular a \overrightarrow{B}. A componente de \overrightarrow{v} paralela ao campo magnético é “invisível” para a força magnética.
  • Conclusão: não é possível determinar v_z a partir da medida de \overrightarrow{F} e \overrightarrow{B}. Portanto v_z é arbitrária — a família de velocidades compatíveis é
\overrightarrow{v}=\bigl(v_x,\;v_y,\;v_z\bigr) \approx\bigl(-1{,}06\times10^{2},\;-4{,}86\times10^{1},\;v_z\bigr)\\ \mathrm{m/s},
onde v_z pode ser qualquer número real (valor não determinado pela medição da força).

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F} (parte (c)) — argumento teórico e verificação numérica.
  • Teoria limpa: para qualquer vetores \overrightarrow{v} e \overrightarrow{B},
\overrightarrow{v}\cdot\bigl(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\bigr)=0
porque o produto escalar de um vetor com um vetor perpendicular a ele é zero. Como \overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}), temos
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=q\,\overrightarrow{v}\cdot\bigl(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\bigr)=q\cdot 0 = 0.
Portanto teoricamente \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=0.
  • Verificação numérica usando componentes para conferir (mostrando passo a passo):
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=v_xF_x+v_yF_y+v_zF_z.
Como F_z=0,
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=v_xF_x+v_yF_y.
Substituindo os números aproximados:
v_xF_x\approx(-105{,}7142857)\cdot(-3{,}40\times10^{-7})\approx 3{,}5942857\times10^{-5},
v_yF_y\approx(-48{,}5714286)\cdot(7{,}40\times10^{-7})\approx -3{,}5942857\times10^{-5}.
Somando dá zero (até erros de arredondamento), confirmando o resultado teórico:
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=0.

Passo 6

Determinar o ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F}.
  • A definição: \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=|\overrightarrow{v}|\,|\overrightarrow{F}|\,\cos\theta, logo se o produto escalar é zero então \cos\theta=0.
  • Assim \theta=90^\circ (ou em radianos \theta=\tfrac{\pi}{2}).
  • Interpretação física curta e simpática: a força magnética é sempre perpendicular à velocidade instantânea (quando a força é puramente magnética), portanto ela não realiza trabalho sobre a partícula — isto aparece matematicamente pelo produto escalar nulo.

Resposta

(a) \overrightarrow{v} tem componentes determinadas v_x\approx -1{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{m/s} e v_y\approx -4{,}86\times10^{1}\\ \mathrm{m/s}. A componente v_z não é determinada pela medição e pode ser qualquer valor; portanto
\overrightarrow{v}\approx\bigl(-1{,}06\times10^{2},\;-4{,}86\times10^{1},\;v_z\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
(b) Sim. A componente v_z (paralela a \overrightarrow{B}) não é determinada, pois a força magnética depende apenas da parte de \overrightarrow{v} perpendicular a \overrightarrow{B} — componentes paralelas a \overrightarrow{B} não aparecem no produto vetorial.
(c) \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{F}=0. O ângulo entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{F} é \,90^\circ.

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