Se a energia de um sinal
, somada ao longo do tempo, é dada pela expressão
. Prove que
é igual a energia
da forma de onda da
transformada de Fourier
do sinal
, somada através dos seus componentes em frequência, dividia por
.
transformada de Fourier
Passo 1
O que o problema pede: provar que a energia do sinal somada no tempo,
é igual à energia dos seus componentes em frequência dividida por
, isto é,
onde a transformada de Fourier é dada por
Informações dadas e suposições que usaremos (tudo está no enunciado ou é hipótese padrão para a identidade):
-
é um sinal com energia finita, isto é . - A transformada de Fourier direta é
. - Usaremos a fórmula inversa da transformada de Fourier apropriada a essa convenção (veja passo seguinte).
-
denota o conjugado complexo de ; é o conjugado de .
Passo 2
Escrevo a fórmula inversa da transformada de Fourier correspondente à convenção dada. Para a convenção
a inversa é
Explicação curta: a transformada direta multiplica por
e integra em
; a inversa reconstrói
integrando
e colocando o fator de normalização
. Aqui
é a variável de frequência (em rad/s) e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Calculo o conjugado de
usando a inversa. Tomando conjugado na expressão da inversa obtemos
Aqui usei que o conjugado de uma integral é a integral dos conjugados e que
.
Passo 4
Agora escrevo a energia no tempo usando as expressões de
e
. Começo da definição:
Substituo a expressão de
do passo anterior:
Para evitar ambiguidades de variável usarei
na integral interna.
Passo 5
Troco a ordem das integrais (justificativa breve): como
tem energia finita (
) e a transformada
também pertence a
pela teoria de Plancherel/Parseval, as integrais iteradas que aparecem são absolutamente (ou ao menos quadraticamente) integráveis e a troca de integrais é permitida por teoremas como Fubini/Tonelli. Assim
Passo 6
Reconheço a integral interna como a transformada de Fourier
:
Substituindo na expressão do passo anterior obtenho
Passo 7
Multiplicando
por o seu conjugado
dá o módulo ao quadrado:
Portanto a expressão fica
Como
é variável de integração, posso renomeá-la para
se preferir, obtendo a forma habitual.
Passo 8
Interpretação e relação com teoremas conhecidos: o que acabamos de derivar é exatamente a fórmula de Parseval/Plancherel para a transformada de Fourier na convenção usada. Em palavras simples: a energia total do sinal no domínio do tempo é igual à energia total no domínio da frequência dividida por
. Essa identidade vale sob a condição de energia finita (
); na prova acima a única etapa que exige cuidado técnico foi a troca de integrais, que está garantida por hipóteses padrão (integrabilidade/quadraticidade) usadas no teorema de Plancherel.