Se a energia de um sinal \mathrm{f}(\mathrm{t}), somada ao longo do tempo, é dada pela expressão E_{t}= \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f^{*}(t) d t. Prove que \mathrm{E}_{\mathrm{t}} é igual a energia \mathrm{E}_{\mathrm{w}} da forma de onda da
transformada de Fourier F(w)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j w t} d t do sinal \mathrm{f}(\mathrm{t}), somada através dos seus componentes em frequência, dividia por 2 \pi.

Passo 1

O que o problema pede: provar que a energia do sinal somada no tempo,
E_{t}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f^{*}(t)\,dt,
é igual à energia dos seus componentes em frequência dividida por 2\pi, isto é,
E_{t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2}\,d\omega,
onde a transformada de Fourier é dada por
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt.
Informações dadas e suposições que usaremos (tudo está no enunciado ou é hipótese padrão para a identidade):
  • f(t) é um sinal com energia finita, isto é \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}\,dt<\infty.
  • A transformada de Fourier direta é \displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt.
  • Usaremos a fórmula inversa da transformada de Fourier apropriada a essa convenção (veja passo seguinte).
  • f^{*}(t) denota o conjugado complexo de f(t); F^{*}(\omega) é o conjugado de F(\omega).

Passo 2

Escrevo a fórmula inversa da transformada de Fourier correspondente à convenção dada. Para a convenção
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt,
a inversa é
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega.
Explicação curta: a transformada direta multiplica por e^{-j\omega t} e integra em t; a inversa reconstrói f(t) integrando F(\omega)e^{j\omega t} e colocando o fator de normalização 1/(2\pi). Aqui \omega é a variável de frequência (em rad/s) e j é a unidade imaginária.

Passo 3

Calculo o conjugado de f(t) usando a inversa. Tomando conjugado na expressão da inversa obtemos
f^{*}(t)=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega\right)^{*} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F^{*}(\omega)e^{-j\omega t}\,d\omega.
Aqui usei que o conjugado de uma integral é a integral dos conjugados e que (e^{j\omega t})^{*}=e^{-j\omega t}.

Passo 4

Agora escrevo a energia no tempo usando as expressões de f(t) e f^{*}(t). Começo da definição:
E_{t}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f^{*}(t)\,dt.
Substituo a expressão de f^{*}(t) do passo anterior:
E_{t}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F^{*}(\omega')e^{-j\omega' t}\,d\omega'\right)\,dt.
Para evitar ambiguidades de variável usarei \omega' na integral interna.

Passo 5

Troco a ordem das integrais (justificativa breve): como f(t) tem energia finita ( f\in L^{2}) e a transformada F(\omega) também pertence a L^{2} pela teoria de Plancherel/Parseval, as integrais iteradas que aparecem são absolutamente (ou ao menos quadraticamente) integráveis e a troca de integrais é permitida por teoremas como Fubini/Tonelli. Assim
E_{t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega' t}\,dt\right)F^{*}(\omega')\,d\omega'.

Passo 6

Reconheço a integral interna como a transformada de Fourier F(\omega'):
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega' t}\,dt=F(\omega').
Substituindo na expressão do passo anterior obtenho
E_{t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega')\,F^{*}(\omega')\,d\omega'.

Passo 7

Multiplicando F(\omega') por o seu conjugado F^{*}(\omega') dá o módulo ao quadrado:
F(\omega')\,F^{*}(\omega')=|F(\omega')|^{2}.
Portanto a expressão fica
E_{t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega')|^{2}\,d\omega'.
Como \omega' é variável de integração, posso renomeá-la para \omega se preferir, obtendo a forma habitual.

Passo 8

Interpretação e relação com teoremas conhecidos: o que acabamos de derivar é exatamente a fórmula de Parseval/Plancherel para a transformada de Fourier na convenção usada. Em palavras simples: a energia total do sinal no domínio do tempo é igual à energia total no domínio da frequência dividida por 2\pi. Essa identidade vale sob a condição de energia finita ( f\in L^{2}); na prova acima a única etapa que exige cuidado técnico foi a troca de integrais, que está garantida por hipóteses padrão (integrabilidade/quadraticidade) usadas no teorema de Plancherel.

Resposta

\displaystyle E_{t}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2}\,d\omega.

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