Se a transformada de Fourier de f_{1}(t) for F_{1}(w) e a transformada de f_{2}(t) for F_{2}(w), qual será a transformada de Fourier de f_{3}(t)=a^{*} f_{1}(t)+b^{*} f_{2}(t), com a e b constantes?

Passo 1

O enunciado dá: a transformada de Fourier de f_{1}(t) é F_{1}(\omega) e a transformada de Fourier de f_{2}(t) é F_{2}(\omega). Define-se
f_{3}(t)=a^{*} f_{1}(t)+b^{*} f_{2}(t),
onde a e b são constantes (o asterisco ^{*} indica o conjugado complexo de uma constante complexa). A pergunta é: qual é a transformada de Fourier de f_{3}(t)?

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Fourier (para que você consiga aplicar isso na prova sem decorar só o resultado): a transformada de Fourier de uma função f(t) é
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui \,t é a variável no domínio do tempo, \omega é a frequência angular, e i é a unidade imaginária. Essa fórmula significa que, para achar a transformada, você multiplica f(t) por e^{-i\omega t} e integra sobre todo o t.

Passo 3

Agora aplicamos a definição diretamente a f_{3}(t). Escrevo a transformada de f_{3}:
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(a^{*} f_{1}(t)+b^{*} f_{2}(t)\bigr)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Usamos que a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto podemos separar:
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} a^{*} f_{1}(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \;+\; \int_{-\infty}^{\infty} b^{*} f_{2}(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 4

Como a^{*} e b^{*} são constantes (não dependem de t), podemos tirá‑las para fora das integrais:
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=a^{*}\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \;+\; b^{*}\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Pelo enunciado sabemos que essas integrais são exatamente F_{1}(\omega) e F_{2}(\omega). Então obtemos
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=a^{*}F_{1}(\omega)+b^{*}F_{2}(\omega).

Passo 5

Interpretação e dica para a prova: a transformada de Fourier é linear — isso significa que constantes multiplicativas saem da integral e somas viram soma de transformadas. Se os coeficientes fossem a e b (sem conjugado) o resultado seria aF_{1}+bF_{2}. Como o enunciado já deu a^{*} e b^{*} multiplicando no tempo, eles aparecem exatamente assim no domínio da frequência. Um exemplo rápido para fixar: se f_{1}(t)=\delta(t) então F_{1}(\omega)=1; se f_{2}(t)=\delta(t-1) então F_{2}(\omega)=e^{-i\omega}. Então a fórmula dá \mathcal{F}\{f_{3}\}(\omega)=a^{*}\cdot 1 + b^{*}\cdot e^{-i\omega}.

Resposta

\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=a^{*}F_{1}(\omega)+b^{*}F_{2}(\omega)

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