Se a transformada de Fourier de
for
e a transformada de
for
, qual será a transformada de Fourier de
, com a e b constantes?
Passo 1
O enunciado dá: a transformada de Fourier de
é
e a transformada de Fourier de
é
. Define-se
onde
e
são constantes (o asterisco
indica o conjugado complexo de uma constante complexa). A pergunta é: qual é a transformada de Fourier de
?
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Fourier (para que você consiga aplicar isso na prova sem decorar só o resultado): a transformada de Fourier de uma função
é
Aqui
é a variável no domínio do tempo,
é a frequência angular, e
é a unidade imaginária. Essa fórmula significa que, para achar a transformada, você multiplica
por
e integra sobre todo o
.
Passo 3
Agora aplicamos a definição diretamente a
. Escrevo a transformada de
:
Usamos que a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto podemos separar:
Passo 4
Como
e
são constantes (não dependem de
), podemos tirá‑las para fora das integrais:
Pelo enunciado sabemos que essas integrais são exatamente
e
. Então obtemos
Passo 5
Interpretação e dica para a prova: a transformada de Fourier é linear — isso significa que constantes multiplicativas saem da integral e somas viram soma de transformadas. Se os coeficientes fossem
e
(sem conjugado) o resultado seria
. Como o enunciado já deu
e
multiplicando no tempo, eles aparecem exatamente assim no domínio da frequência. Um exemplo rápido para fixar: se
então
; se
então
. Então a fórmula dá
.