Se a DFT de \mathrm{x}(\mathrm{n}) for \mathrm{X}(\mathrm{m}), demonstre que a DFT de \mathrm{x}(-\mathrm{n}) é dada por \mathrm{X}^{*}(\mathrm{~m}).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado que a DFT de x(n) é X(m). Ou seja, existe uma sequência x(n) de período N (índices tomados módulo N) e sua DFT é X(m).
  • O que precisamos demonstrar: que a DFT de x(-n) é X^{*}(m) (vou explicar abaixo que a identidade correta e generalizável envolve conjugação no domínio do tempo; mantenho aqui exatamente o que foi pedido e mostrarei também a versão correta e a condição especial).
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação direta entre x(n) e X(m) (DFT) é a peça-chave.
  • Trabalhamos com índices módulo N (ou seja, -n significa N-n quando necessário).

Passo 2

Definição da DFT (fórmula base) e interpretação dos símbolos — aula rapidinha:
  • A DFT X(m) de uma sequência x(n) de comprimento N é definida por
X(m)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}mn},
onde:
  • n é o índice no domínio do tempo, variando por convenção de 0 a N-1 (índices tomados módulo N);
  • m é o índice no domínio da frequência, também 0,1,\dots,N-1;
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1);
  • a exponencial complexa e^{-j\frac{2\pi}{N}mn} é o núcleo da transformação, que “projeta” x(n) nas componentes de frequência.
  • Propriedade útil de conjugação: (a+b)^*=a^*+b^* e (ab)^*=a^* b^*. Em particular \big(e^{-j\theta}\big)^*=e^{j\theta}.

Passo 3

Escrevendo a conjugada complexa de X(m) e aplicando propriedades de conjugação:
  • Pegamos a expressão de X(m) e conjugamos termo a termo:
X^*(m)=\left(\sum_{k=0}^{N-1} x(k)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}mk}\right)^*.
  • Usando (\sum_k a_k)^*=\sum_k a_k^* e (ab)^*=a^* b^*, obtemos
X^*(m)=\sum_{k=0}^{N-1} x^*(k)\,e^{j\frac{2\pi}{N}mk}.
Aqui x^*(k) é o conjugado complexo de x(k).

Passo 4

Mudança de variável k\mapsto -n (índices módulo N) — por que isso é permitido:
  • Faça a substituição k\equiv -n \pmod{N}. Quando k percorre 0,1,\dots,N-1, o novo índice n também percorre os N valores distintos 0,1,\dots,N-1 (é apenas uma permutação dos termos da soma). Portanto a soma não muda se reindexarmos.
  • Substituindo k=-n em \sum_{k=0}^{N-1} x^*(k)\,e^{j\frac{2\pi}{N}mk} obtemos
X^*(m)=\sum_{n=0}^{N-1} x^*(-n)\,e^{j\frac{2\pi}{N}m(-n)}.
  • Simplificando o expoente:
e^{j\frac{2\pi}{N}m(-n)}=e^{-j\frac{2\pi}{N}mn},
portanto
X^*(m)=\sum_{n=0}^{N-1} x^*(-n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}mn}.

Passo 5

Reconhecendo a expressão como a DFT de uma sequência e concluindo a propriedade:
  • Compare a expressão obtida em Passo 4 com a definição da DFT dada no Passo 2:
\text{DFT}\{y(n)\}(m)=\sum_{n=0}^{N-1} y(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}mn}.
  • Identificando y(n)=x^*(-n) vemos que
X^*(m)=\text{DFT}\{x^*(-n)\}(m).
  • Portanto a identidade correta e geral é
\boxed{\text{DFT}\{x^*(-n)\}=X^*(m).}
  • Observação importante e conexão com o enunciado: se as amostras x(n) forem reais, então x^*(n)=x(n) para todo n. Nesse caso particular:
\text{DFT}\{x(-n)\}=X^*(m).
Logo a afirmação do enunciado vale tal como está quando x(n) é real. Para sinais complexos em geral precisamos do conjugado temporal x^*(-n) para obter X^*(m).

Passo 6

Exemplo numérico pequeno (para fixar a intuição):
  • Tome N=4 e uma sequência real simples, por exemplo x=[1,2,0,0] (ou seja x(0)=1,x(1)=2,x(2)=0,x(3)=0). Como x é real, x^*=x.
  • Calcule mentalmente a DFT X(m) pela fórmula (não preciso aqui computar todos os valores), e veja que reverter o índice no tempo x(-n) corresponde a permutar os elementos para [x(0),x(3),x(2),x(1)]. A DFT dessa sequência revertida será igual à conjugada de X(m) — como X(m) será real/complexo dependendo dos valores, a igualdade fica evidente numericamente. (Este exemplo serve só para ver a permutação de índices; se quiser eu faço os cálculos numéricos completos.)

Resposta

\text{DFT}\{x^*(-n)\}=X^*(m).
\text{Se }x(n)\text{ é real, então }\text{DFT}\{x(-n)\}=X^*(m).éã

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