Se a DFT de
for
, demonstre que a DFT de
é dada por
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado que a DFT de
é . Ou seja, existe uma sequência de período (índices tomados módulo ) e sua DFT é . - O que precisamos demonstrar: que a DFT de
é (vou explicar abaixo que a identidade correta e generalizável envolve conjugação no domínio do tempo; mantenho aqui exatamente o que foi pedido e mostrarei também a versão correta e a condição especial).
Informações relevantes fornecidas:
- A relação direta entre
e (DFT) é a peça-chave. - Trabalhamos com índices módulo
(ou seja, significa quando necessário).
Passo 2
Definição da DFT (fórmula base) e interpretação dos símbolos — aula rapidinha:
- A DFT
de uma sequência de comprimento é definida por
onde:
-
é o índice no domínio do tempo, variando por convenção de a (índices tomados módulo ); -
é o índice no domínio da frequência, também ; -
é a unidade imaginária ( ); - a exponencial complexa
é o núcleo da transformação, que “projeta” nas componentes de frequência. - Propriedade útil de conjugação:
e . Em particular .
Passo 3
Escrevendo a conjugada complexa de
e aplicando propriedades de conjugação:
- Pegamos a expressão de
e conjugamos termo a termo:
- Usando
e , obtemos
Aqui
é o conjugado complexo de
.
Passo 4
Mudança de variável
(índices módulo
) — por que isso é permitido:
- Faça a substituição
. Quando percorre , o novo índice também percorre os valores distintos (é apenas uma permutação dos termos da soma). Portanto a soma não muda se reindexarmos. - Substituindo
em obtemos
- Simplificando o expoente:
portanto
Passo 5
Reconhecendo a expressão como a DFT de uma sequência e concluindo a propriedade:
- Compare a expressão obtida em Passo 4 com a definição da DFT dada no Passo 2:
- Identificando
vemos que
- Portanto a identidade correta e geral é
- Observação importante e conexão com o enunciado: se as amostras
forem reais, então para todo . Nesse caso particular:
Logo a afirmação do enunciado vale tal como está quando
é real. Para sinais complexos em geral precisamos do conjugado temporal
para obter
.
Passo 6
Exemplo numérico pequeno (para fixar a intuição):
- Tome
e uma sequência real simples, por exemplo (ou seja ). Como é real, . - Calcule mentalmente a DFT
pela fórmula (não preciso aqui computar todos os valores), e veja que reverter o índice no tempo corresponde a permutar os elementos para . A DFT dessa sequência revertida será igual à conjugada de — como será real/complexo dependendo dos valores, a igualdade fica evidente numericamente. (Este exemplo serve só para ver a permutação de índices; se quiser eu faço os cálculos numéricos completos.)