A energia total por unidade de volume dentro da cavidade de corpo negro pode ser calculada da integral
\rho_{T}=\int_{0}^{\infty} \rho_{T}(\lambda) \mathrm{d} \lambda=\int_{0}^{\infty} \rho_{T}^{*}(\nu) \mathrm{d} \nu
em que \rho_{T}^{*}(\nu) é a densidade de energia em função de \nu. Demonstre que
\rho_{T}^{*}(\nu)=\frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^{3}} \frac{1}{e^{h c / \lambda k T}-1}
Dica: lembre que \lambda \nu=c e portanto \mathrm{d} \nu \neq \mathrm{d} \lambda.

Passo 1

O enunciado fornece a igualdade entre as duas formas da energia por unidade de volume:
\rho_T=\int_{0}^{\infty}\rho_T(\lambda)\,d\lambda=\int_{0}^{\infty}\rho_T^{*}(\nu)\,d\nu
e pede para demonstrar a expressão de \rho_T^{*}(\nu). As informações relevantes e o que é pedido são:
  • Dado: a relação entre comprimento de onda e frequência \lambda \nu = c.
  • Observação importante dada no enunciado: d\nu \neq d\lambda (ou seja, ao trocar variável precisamos levar em conta a mudança dos diferenciais).
  • Necessário: demonstrar a expressão de \rho_T^{*}(\nu), a densidade espectral de energia por unidade de frequência.
  • Informação que usamos (normalmente conhecida na derivação): a densidade espectral por unidade de comprimento de onda (forma em \lambda) é
\rho_T(\lambda)=\frac{8\pi h c}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}}-1}.
Essa fórmula descreve a distribuição de energia em função de \lambda. A tarefa é transformar essa expressão para obter a distribuição em função de \nu, ou seja, \rho_T^{*}(\nu).

Passo 2

Entender o que significa a transformação entre as duas densidades: a quantidade de energia entre \lambda e \lambda+d\lambda é a mesma que entre \nu e \nu+d\nu, pois é a mesma “faixa” de radiação escrita com variáveis diferentes. Em símbolo:
\rho_T(\lambda)\,d\lambda=\rho_T^{*}(\nu)\,d\nu.
Isso é a base para a mudança de variável: a densidade por unidade de \nu é obtida a partir da densidade por unidade de \lambda multiplicada pelo fator que relaciona d\lambda e d\nu.

Passo 3

Fazer a mudança de variável entre \lambda e \nu. Partimos de
\nu=\frac{c}{\lambda}.
Derivando ambos os lados em relação a \lambda obtemos
\frac{d\nu}{d\lambda}=-\frac{c}{\lambda^{2}}.
Assim
d\nu=-\frac{c}{\lambda^{2}}\,d\lambda.
Como trabalhamos com densidades positivas e queremos o módulo do fator de escala entre os diferenciais, tomamos o valor absoluto da derivada inversa:
\left|\frac{d\lambda}{d\nu}\right|=\frac{\lambda^{2}}{c}.
Explicação rápida: o sinal negativo apenas indica que \nu decresce quando \lambda aumenta; na relação entre densidades usamos o módulo porque \rho_T(\lambda)\,d\lambda e \rho_T^{*}(\nu)\,d\nu devem ser números positivos iguais.

Passo 4

Usar a identidade do Passo 2 para escrever \rho_T^{*}(\nu) em função de \rho_T(\lambda):
\rho_T^{*}(\nu)=\rho_T(\lambda)\left|\frac{d\lambda}{d\nu}\right|.
Agora substituímos a expressão conhecida de \rho_T(\lambda) e o fator \left|\dfrac{d\lambda}{d\nu}\right|=\dfrac{\lambda^{2}}{c}:
\rho_T^{*}(\nu)=\left(\frac{8\pi h c}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}}-1}\right)\left(\frac{\lambda^{2}}{c}\right).

Passo 5

Simplificamos a expressão algébrica obtida no Passo 4. No produto acima o fator c no numerador e denominador se cancelam e \lambda^{5} com \lambda^{2} deixam \lambda^{3} no denominador:
\rho_T^{*}(\nu)=\frac{8\pi h}{\lambda^{3}}\frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}}-1}.
Agora usamos a mudança \lambda=\dfrac{c}{\nu} para escrever tudo em função de \nu. Observações úteis para a substituição:
\frac{1}{\lambda^{3}}=\frac{\nu^{3}}{c^{3}},\qquad \frac{h c}{\lambda k T}=\frac{h \nu}{k T}.
Substituindo essas duas relações na expressão anterior obtemos a forma final em termos de \nu (a escrita final está na seção de resposta).

Resposta

\rho_{T}^{*}(\nu)=\frac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3}}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}

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