Um pêndulo simples oscila de forma que a posição angular é dada por
, no S.I. Se em
, temos
e
, quais são (a) a constante de fase
e (b) a amplitude angular
?
Passo 1
O enunciado dá a posição angular de um pêndulo simples como
no S.I. e informa as condições iniciais em
:
O que se pede:
(a) determinar a constante de fase ;
(b) determinar a amplitude angular .
(a) determinar a constante de fase
(b) determinar a amplitude angular
Passo 2
Vamos obter uma expressão para a velocidade angular
. A regra que usamos é a derivada da função cosseno composta: se
então
. Aqui
e
. Portanto
Expliquei:
é constante (amplitude),
é a frequência angular (em rad/s) e
é a fase inicial.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais em
. Primeiro para
:
Segundo para
:
Passo 4
Escrevo as duas equações em sequência (para facilitar manipulação):
A ideia: eliminar
dividindo (2) por (1).
Passo 5
Dividindo (2) por (1) obtemos:
Simplificando
e a razão do lado direito,
Logo
Passo 6
Para encontrar
tomamos a função arco-tangente. Antes, verificamos o quadrante:
implica
;
e a expressão
com
implica
. Portanto
e
nos dizem que
está no primeiro quadrante
. Assim usamos o arco-tangente principal:
Explicando: escolhemos esse sinal (primeiro quadrante) porque as condições iniciais fixam os sinais de seno e cosseno conforme indicado.
Passo 7
Com
conhecido, voltamos à equação (1) para obter
:
Uma forma numérica direta usa a identidade
. Como
,
Assim
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): calcular
com os valores encontrados e confirmar que é aproximadamente
. Como
e
,
coincidindo com a condição dada, então os resultados são consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(b)