Um pêndulo simples oscila de forma que a posição angular é dada por \theta=\theta_{m} \cos (4,44 t+\varphi), no S.I. Se em t=0, temos \theta=0,04 \mathrm{rad} e \dot{\theta}= -0,20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, quais são (a) a constante de fase \varphi e (b) a amplitude angular \theta_{m} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular de um pêndulo simples como
\theta(t)=\theta_{m}\cos\bigl(4,44\,t+\varphi\bigr),
no S.I. e informa as condições iniciais em t=0:
\theta(0)=0,04\\ \text{rad},
\dot{\theta}(0)=-0,20\\ \text{rad/s}.
O que se pede:
(a) determinar a constante de fase \varphi;
(b) determinar a amplitude angular \theta_{m}.

Passo 2

Vamos obter uma expressão para a velocidade angular \dot{\theta}(t). A regra que usamos é a derivada da função cosseno composta: se f(t)=\cos(u(t)) então f'(t)=-u'(t)\sin(u(t)). Aqui u(t)=4,44\,t+\varphi e u'(t)=4,44. Portanto
\dot{\theta}(t)=-\theta_{m}\cdot 4,44\;\sin\bigl(4,44\,t+\varphi\bigr).
Expliquei: \theta_{m} é constante (amplitude), 4,44 é a frequência angular (em rad/s) e \varphi é a fase inicial.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais em t=0. Primeiro para \theta(0):
\theta(0)=\theta_{m}\cos(\varphi)=0,04.
Segundo para \dot{\theta}(0):
\dot{\theta}(0)=-\theta_{m}\cdot 4,44\;\sin(\varphi)=-0,20.

Passo 4

Escrevo as duas equações em sequência (para facilitar manipulação):
\theta_{m}\cos\varphi=0,04 \qquad\text{(1)}
-\theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi=-0,20 \quad\Rightarrow\quad \theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi=0,20 \qquad\text{(2)}
A ideia: eliminar \theta_{m} dividindo (2) por (1).

Passo 5

Dividindo (2) por (1) obtemos:
\frac{\theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi}{\theta_{m}\cos\varphi}=\frac{0,20}{0,04}.
Simplificando \theta_{m} e a razão do lado direito,
4,44\tan\varphi=5.
Logo
\tan\varphi=\frac{5}{4,44}=\frac{125}{111}\approx 1,126126.

Passo 6

Para encontrar \varphi tomamos a função arco-tangente. Antes, verificamos o quadrante: \theta(0)=0,04>0 implica \cos\varphi>0; \dot{\theta}(0)=-0,20<0 e a expressão \dot{\theta}(0)=-\theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi com \theta_{m}>0 implica \sin\varphi>0. Portanto \sin\varphi>0 e \cos\varphi>0 nos dizem que \varphi está no primeiro quadrante (0,\tfrac{\pi}{2}). Assim usamos o arco-tangente principal:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{125}{111}\right)\approx 0,847\\ \text{rad}.
Explicando: escolhemos esse sinal (primeiro quadrante) porque as condições iniciais fixam os sinais de seno e cosseno conforme indicado.

Passo 7

Com \varphi conhecido, voltamos à equação (1) para obter \theta_{m}:
\theta_{m}=\frac{0,04}{\cos\varphi}.
Uma forma numérica direta usa a identidade \cos\varphi=1/\sqrt{1+\tan^{2}\varphi}. Como \tan\varphi=125/111,
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{125}{111}\right)^{2}}}\approx 0,66406.
Assim
\theta_{m}=\frac{0,04}{0,66406}\approx 0,06024\\ \text{rad}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): calcular -\theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi com os valores encontrados e confirmar que é aproximadamente -0,20\\ \text{rad/s}. Como \sin\varphi\approx 0,748 e \theta_{m}\approx 0,06024,
-\theta_{m}\cdot 4,44\sin\varphi\approx -0,06024\cdot 4,44\cdot 0,748\approx -0,20,
coincidindo com a condição dada, então os resultados são consistentes.

Resposta

(a) \varphi\approx 0,847\\ \text{rad}
(b) \theta_{m}\approx 0,06024\\ \text{rad}

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