As energias da partícula na caixa unidimensional são inversamente proporcionais à massa e ao quadrado da dimensão da caixa. Disto, podemos afirmar que
a) O aumento da dimensão da caixa faz com que o espaçamento entre os níveis diminua.
b) A quantização não é observada para um sistema de pequenas dimensões.
c) O espaçamento entre os níveis diminui para números quânticos elevados.
d) Para sistemas com massas relativamente pequenas a quantização não é observada.
a) O aumento da dimensão da caixa faz com que o espaçamento entre os níveis diminua.
b) A quantização não é observada para um sistema de pequenas dimensões.
c) O espaçamento entre os níveis diminui para números quânticos elevados.
d) Para sistemas com massas relativamente pequenas a quantização não é observada.
Passo 1
O enunciado diz que as energias de uma partícula numa caixa unidimensional são inversamente proporcionais à massa e ao quadrado da dimensão da caixa. Temos quatro afirmações (a), (b), (c) e (d) e precisamos dizer qual(is) é(são) correta(s). Lista das informações dadas:
- A energia depende inversamente de
(massa). - A energia depende inversamente de
(o quadrado da dimensão da caixa).
Pergunta: Com base nisso, quais das alternativas (a) a (d) estão corretas?
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão para os níveis de energia da partícula na caixa (é a expressão que incorpora a dependência mencionada):
Explanação das variáveis:
-
é a energia do nível quântico com número . -
é o número quântico, (inteiros positivos). -
é a constante de Planck (constante universal). -
é a massa da partícula. -
é a dimensão (comprimento) da caixa.
Comentário didático: essa fórmula vem de impor condições de contorno (onda estacionária) na caixa e mostra explicitamente quecresce com e é proporcional a .
Passo 3
Calculemos o espaçamento entre níveis consecutivos, que é a quantidade relevante para saber se a quantização é observável:
Substituindo a fórmula de
:
Comentário: essa expressão mostra como o espaçamento depende de
,
e
.
Passo 4
Analisando a dependência em
: na expressão
o fator
está no denominador. Portanto, se aumentamos
(a caixa fica maior), o denominador aumenta e
diminui. Conclusão: o aumento da dimensão da caixa faz com que o espaçamento entre níveis diminua. Isso confirma a alternativa (a) como verdadeira. Intuição: numa caixa maior as “modos” ficam mais próximos, aproximando-se do contínuo clássico.
Passo 5
Analisando a alternativa (b): ela afirma que a quantização não é observada para um sistema de pequenas dimensões. Pela fórmula, se
é pequeno,
é pequeno, então
e
aumentam — ou seja, os níveis ficam mais separados e a quantização fica mais fácil de observar. Logo (b) é falsa. Intuição: sistemas muito pequenos (nanoescala) tendem a mostrar efeitos quânticos fortes, não o contrário.
Passo 6
Analisando a alternativa (c): ela diz que o espaçamento entre os níveis diminui para números quânticos elevados. Pela expressão
, o fator
cresce com
. Portanto
aumenta com
, não diminui. Assim, (c) é falsa. Intuição: como
, as diferenças entre níveis sucessivos crescem com
.
Passo 7
Analisando a alternativa (d): ela afirma que para sistemas com massas relativamente pequenas a quantização não é observada. Pela expressão,
está no denominador, então massa pequena (
menor) aumenta
— os níveis ficam mais separados e a quantização é mais evidente. Portanto (d) é falsa. Intuição: partículas leves (menor
) têm energias quantizadas mais espaçadas.
Resposta
a)