(1,2) As energias da partícula na caixa unidimensional são inversamente proporcionais à massa e ao quadrado da dimensão da caixa. Disto, podemos afirmar que
a) O aumento da dimensão da caixa faz com que o espaçamento entre os níveis diminua.
b) A quantização não é observada para um sistema de pequenas dimensões.
c) O espaçamento entre os níveis diminui para números quânticos elevados.
d) Para sistemas com massas relativamente pequenas a quantização não é observada.

Passo 1

O enunciado diz que as energias de uma partícula numa caixa unidimensional são inversamente proporcionais à massa e ao quadrado da dimensão da caixa. Temos quatro afirmações (a), (b), (c) e (d) e precisamos dizer qual(is) é(são) correta(s). Lista das informações dadas:
  • A energia depende inversamente de m (massa).
  • A energia depende inversamente de L^2 (o quadrado da dimensão da caixa).
    Pergunta: Com base nisso, quais das alternativas (a) a (d) estão corretas?

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão para os níveis de energia da partícula na caixa (é a expressão que incorpora a dependência mencionada):
E_n=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}
Explanação das variáveis:
  • E_n é a energia do nível quântico com número n.
  • n é o número quântico, n=1,2,3,\dots (inteiros positivos).
  • h é a constante de Planck (constante universal).
  • m é a massa da partícula.
  • L é a dimensão (comprimento) da caixa.
    Comentário didático: essa fórmula vem de impor condições de contorno (onda estacionária) na caixa e mostra explicitamente que E_n cresce com n^{2} e é proporcional a 1/(mL^{2}).

Passo 3

Calculemos o espaçamento entre níveis consecutivos, que é a quantidade relevante para saber se a quantização é observável:
\Delta E_n=E_{n+1}-E_{n}
Substituindo a fórmula de E_n:
\Delta E_n=\frac{(n+1)^{2}h^{2}}{8mL^{2}}-\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}=\frac{[(n+1)^{2}-n^{2}]\,h^{2}}{8mL^{2}}=\frac{(2n+1)h^{2}}{8mL^{2}}.
Comentário: essa expressão mostra como o espaçamento depende de n, m e L.

Passo 4

Analisando a dependência em L: na expressão
\Delta E_n=\frac{(2n+1)h^{2}}{8mL^{2}},
o fator L^{2} está no denominador. Portanto, se aumentamos L (a caixa fica maior), o denominador aumenta e \Delta E_n diminui. Conclusão: o aumento da dimensão da caixa faz com que o espaçamento entre níveis diminua. Isso confirma a alternativa (a) como verdadeira. Intuição: numa caixa maior as “modos” ficam mais próximos, aproximando-se do contínuo clássico.

Passo 5

Analisando a alternativa (b): ela afirma que a quantização não é observada para um sistema de pequenas dimensões. Pela fórmula, se L é pequeno, L^{2} é pequeno, então E_n e \Delta E_n aumentam — ou seja, os níveis ficam mais separados e a quantização fica mais fácil de observar. Logo (b) é falsa. Intuição: sistemas muito pequenos (nanoescala) tendem a mostrar efeitos quânticos fortes, não o contrário.

Passo 6

Analisando a alternativa (c): ela diz que o espaçamento entre os níveis diminui para números quânticos elevados. Pela expressão \Delta E_n=\dfrac{(2n+1)h^{2}}{8mL^{2}}, o fator (2n+1) cresce com n. Portanto \Delta E_n aumenta com n, não diminui. Assim, (c) é falsa. Intuição: como E_n\propto n^{2}, as diferenças entre níveis sucessivos crescem com n.

Passo 7

Analisando a alternativa (d): ela afirma que para sistemas com massas relativamente pequenas a quantização não é observada. Pela expressão, m está no denominador, então massa pequena ( m menor) aumenta \Delta E_n — os níveis ficam mais separados e a quantização é mais evidente. Portanto (d) é falsa. Intuição: partículas leves (menor m) têm energias quantizadas mais espaçadas.

Resposta

a)

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