“Ao energizarmos uma linha de transmissão, partem do transmissor, simultaneamente, duas ondas, uma de tensão de amplitude U [V] e uma de corrente, de amplitude I [A], que se desloca com velocidade constante v [m/s] em direção ao receptor, onde chegam com o nome de ondas diretas ou ondas incidentes. Dependendo da forma de terminação da linha, podem dar origem a ondas refletidas, que viajam de volta, do receptor para o transmissor com a mesma velocidade das ondas incidentes.” (FUCHS, 1977, p. 64).
Considerando R a resistência terminal da linha e Z a impedância de entrada, pode-se afirmar que as ondas
a) refletidas de tensão e corrente são nulas sempre que R=Z.
b) de tensão refletida e incidente possuem sinais opostos, resultando em um aumento da tensão sempre que R<Z.
c) de tensão refletida e incidente possuem o mesmo sinal. Isso fará com que a tensão resultante seja nula sempre que \mathrm{R}>\mathrm{Z}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados: a resistência terminal da linha é R e a impedância característica (ou impedância de entrada) da linha é Z. Partem ondas incidentes de tensão e corrente e podem aparecer ondas refletidas.
  • O enunciado apresenta três afirmações (a), (b) e (c) e pede que se determine quais são verdadeiras.
  • Informação importante a extrair: precisamos saber como a amplitude e sinal da onda refletida de tensão e de corrente dependem de R e Z.

Passo 2

Conceito-chave: coeficiente de reflexão de tensão.
  • Definição operacional: escreve-se a tensão total no ponto de terminação (carga) como soma da tensão da onda incidente e da onda refletida:
V_{\text{total}}=V^{+}+V^{-}.
  • Analogamente, a corrente total é
I_{\text{total}}=I^{+}+I^{-}.
  • Relação entre tensão e corrente para uma onda que viaja no sentido positivo na linha: V^{+}=Z\,I^{+}.
  • Relação para a onda refletida (que viaja no sentido negativo): a corrente associada à onda refletida tem sinal oposto ao da corrente incidente quando expressa na mesma orientação; isso implica
I^{-}=-\frac{V^{-}}{Z}.
(ou, equivalentemente, V^{-}=-Z\,I^{-} se quiser expressar em termos de I^{-}).
  • Condição de contorno na carga: a tensão e a corrente na carga satisfazem V_{\text{total}}=R\,I_{\text{total}}. Substituindo as somas das ondas:
V^{+}+V^{-}=R\bigl(I^{+}+I^{-}\bigr).

Passo 3

Derivação do coeficiente de reflexão de tensão \Gamma. (Isto é o que o professor provavelmente espera que você saiba decorar e usar na prova.)
  • Defina o coeficiente de reflexão de tensão como
\Gamma=\frac{V^{-}}{V^{+}}.
  • Usando I^{+}=V^{+}/Z e I^{-}=-V^{-}/Z na condição de contorno V^{+}+V^{-}=R(I^{+}+I^{-}), obtemos:
V^{+}+V^{-}=R\!\left(\frac{V^{+}}{Z}-\frac{V^{-}}{Z}\right).
  • Dividindo tudo por V^{+} e usando \Gamma=V^{-}/V^{+}:
1+\Gamma=\frac{R}{Z}\,(1-\Gamma).
  • Resolva para \Gamma. Primeiro expanda e junte termos em \Gamma:
1+\Gamma=\frac{R}{Z}-\frac{R}{Z}\Gamma \quad\Rightarrow\quad \Gamma+\frac{R}{Z}\Gamma=\frac{R}{Z}-1.
  • Fatorando \Gamma:
\Gamma\left(1+\frac{R}{Z}\right)=\frac{R}{Z}-1.
  • Logo
\Gamma=\frac{\dfrac{R}{Z}-1}{1+\dfrac{R}{Z}}=\frac{R-Z}{R+Z}.
Esta fórmula é central: a amplitude (e sinal) da tensão refletida em relação à incidente é \Gamma=\dfrac{R-Z}{R+Z}.

Passo 4

Relação entre as ondas de corrente refletida e incidente.
  • A razão entre corrente refletida e corrente incidente é
\frac{I^{-}}{I^{+}}=-\frac{V^{-}/Z}{V^{+}/Z}=-\frac{V^{-}}{V^{+}}=-\Gamma.
  • Ou seja, a corrente refletida tem amplitude |\Gamma| vezes a corrente incidente, e sempre com sinal oposto ao sinal de \Gamma. Em particular, se \Gamma=0 então V^{-}=0 e I^{-}=0.

Passo 5

Use as fórmulas para analisar cada alternativa do enunciado. Primeiro escreva também a tensão resultante na carga em termos de \Gamma:
V_{\text{total}}=V^{+}(1+\Gamma).
Note que, usando \Gamma=\dfrac{R-Z}{R+Z},
1+\Gamma=\frac{(R+Z)+(R-Z)}{R+Z}=\frac{2R}{R+Z}.
Logo
V_{\text{total}}=V^{+}\,\frac{2R}{R+Z}.

Passo 6

Análise da alternativa (a): "refletidas de tensão e corrente são nulas sempre que R=Z".
  • Se R=Z então, da fórmula \Gamma=(R-Z)/(R+Z), obtemos \Gamma=0.
  • Assim V^{-}=0 e I^{-}=-\Gamma I^{+}=0.
  • Portanto a alternativa (a) é verdadeira.

Passo 7

Análise da alternativa (b): "de tensão refletida e incidente possuem sinais opostos, resultando em um aumento da tensão sempre que R<Z".
  • Primeiro parte: se R<Z então R-Z<0 e, portanto, \Gamma<0. Logo V^{-} tem sinal oposto a V^{+}. Essa parte é correta.
  • Segunda parte: o valor da tensão total é V_{\text{total}}=V^{+}\dfrac{2R}{R+Z}. Se R<Z então \dfrac{2R}{R+Z}<1, portanto V_{\text{total}}<V^{+}. Ou seja, não há aumento da tensão; há diminuição. Exemplo extremo: para R=0 (curto) tem V_{\text{total}}=0.
  • Conclusão: a afirmação contém uma parte verdadeira (sinais opostos) e uma parte falsa (aumento da tensão). Logo a alternativa (b) é falsa.

Passo 8

Análise da alternativa (c): "de tensão refletida e incidente possuem o mesmo sinal. Isso fará com que a tensão resultante seja nula sempre que \mathrm{R}>\mathrm{Z}".
  • Primeiro parte: se R>Z então R-Z>0 e \Gamma>0, então V^{-} e V^{+} têm o mesmo sinal. Essa parte é verdadeira.
  • Segunda parte: a tensão total é V_{\text{total}}=V^{+}\dfrac{2R}{R+Z}. Para R>Z a fração \dfrac{2R}{R+Z} é maior que 1, não nula. O caso em que a tensão total é nula ocorre quando R=0 (curto), que é R<Z, não R>Z. Portanto a afirmação de que a tensão resultante é nula sempre que R>Z é falsa.
  • Conclusão: a alternativa (c) é falsa.

Resposta

a)

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