“Ao energizarmos uma linha de transmissão, partem do transmissor, simultaneamente, duas ondas, uma de tensão de amplitude U [V] e uma de corrente, de amplitude I [A], que se desloca com velocidade constante v [m/s] em direção ao receptor, onde chegam com o nome de ondas diretas ou ondas incidentes. Dependendo da forma de terminação da linha, podem dar origem a ondas refletidas, que viajam de volta, do receptor para o transmissor com a mesma velocidade das ondas incidentes.” (FUCHS, 1977, p. 64).
Considerando
a resistência terminal da linha e
a impedância de entrada, pode-se afirmar que as ondas
a) refletidas de tensão e corrente são nulas sempre que
.
b) de tensão refletida e incidente possuem sinais opostos, resultando em um aumento da tensão sempre que
.
c) de tensão refletida e incidente possuem o mesmo sinal. Isso fará com que a tensão resultante seja nula sempre que
.
Considerando
a) refletidas de tensão e corrente são nulas sempre que
b) de tensão refletida e incidente possuem sinais opostos, resultando em um aumento da tensão sempre que
c) de tensão refletida e incidente possuem o mesmo sinal. Isso fará com que a tensão resultante seja nula sempre que
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados: a resistência terminal da linha é
e a impedância característica (ou impedância de entrada) da linha é . Partem ondas incidentes de tensão e corrente e podem aparecer ondas refletidas. - O enunciado apresenta três afirmações (a), (b) e (c) e pede que se determine quais são verdadeiras.
- Informação importante a extrair: precisamos saber como a amplitude e sinal da onda refletida de tensão e de corrente dependem de
e .
Passo 2
Conceito-chave: coeficiente de reflexão de tensão.
- Definição operacional: escreve-se a tensão total no ponto de terminação (carga) como soma da tensão da onda incidente e da onda refletida:
- Analogamente, a corrente total é
- Relação entre tensão e corrente para uma onda que viaja no sentido positivo na linha:
. - Relação para a onda refletida (que viaja no sentido negativo): a corrente associada à onda refletida tem sinal oposto ao da corrente incidente quando expressa na mesma orientação; isso implica
(ou, equivalentemente,
se quiser expressar em termos de
).
- Condição de contorno na carga: a tensão e a corrente na carga satisfazem
. Substituindo as somas das ondas:
Passo 3
Derivação do coeficiente de reflexão de tensão
. (Isto é o que o professor provavelmente espera que você saiba decorar e usar na prova.)
- Defina o coeficiente de reflexão de tensão como
- Usando
e na condição de contorno , obtemos:
- Dividindo tudo por
e usando :
- Resolva para
. Primeiro expanda e junte termos em :
- Fatorando
:
- Logo
Esta fórmula é central: a amplitude (e sinal) da tensão refletida em relação à incidente é
.
Passo 4
Relação entre as ondas de corrente refletida e incidente.
- A razão entre corrente refletida e corrente incidente é
- Ou seja, a corrente refletida tem amplitude
vezes a corrente incidente, e sempre com sinal oposto ao sinal de . Em particular, se então e .
Passo 5
Use as fórmulas para analisar cada alternativa do enunciado. Primeiro escreva também a tensão resultante na carga em termos de
:
Note que, usando
,
Logo
Passo 6
Análise da alternativa (a): "refletidas de tensão e corrente são nulas sempre que
".
- Se
então, da fórmula , obtemos . - Assim
e . - Portanto a alternativa (a) é verdadeira.
Passo 7
Análise da alternativa (b): "de tensão refletida e incidente possuem sinais opostos, resultando em um aumento da tensão sempre que
".
- Primeiro parte: se
então e, portanto, . Logo tem sinal oposto a . Essa parte é correta. - Segunda parte: o valor da tensão total é
. Se então , portanto . Ou seja, não há aumento da tensão; há diminuição. Exemplo extremo: para (curto) tem . - Conclusão: a afirmação contém uma parte verdadeira (sinais opostos) e uma parte falsa (aumento da tensão). Logo a alternativa (b) é falsa.
Passo 8
Análise da alternativa (c): "de tensão refletida e incidente possuem o mesmo sinal. Isso fará com que a tensão resultante seja nula sempre que
".
- Primeiro parte: se
então e , então e têm o mesmo sinal. Essa parte é verdadeira. - Segunda parte: a tensão total é
. Para a fração é maior que , não nula. O caso em que a tensão total é nula ocorre quando (curto), que é , não . Portanto a afirmação de que a tensão resultante é nula sempre que é falsa. - Conclusão: a alternativa (c) é falsa.
Resposta
a)