Engenharia Química. Uma tubulação elevada segue a reta
Um plano de ventilação é dado por
Calcule a distância entre a tubulação e o plano de ventilação.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente duas informações e pede uma coisa:
- Dado da tubulação (reta):
-
Um ponto qualquer da reta (por exemplo) é
. -
O vetor diretor da reta é
. -
Dado do plano de ventilação:
-
O vetor normal ao plano é
. -
A constante do plano (no formato
) é . -
O que o problema pede:
- Calcular a distância entre a tubulação (reta
) e o plano .
- Calcular a distância entre a tubulação (reta
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a reta é paralela ao plano ou se intersecta o plano. Por que isso importa? Porque:
- Se a reta intersecta o plano, a distância é
. - Se a reta é paralela ao plano, a distância é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta até o plano.
Regra para verificar paralelismo: uma reta com vetor diretor
é paralela a um plano com normal
se e só se
Aqui:
Calcule o produto escalar:
Como o produto escalar é igual a zero, concluímos que a reta é paralela ao plano. Portanto a distância entre a reta e o plano é diferente de zero (em geral) e pode ser calculada como a distância de qualquer ponto da reta até o plano.
Passo 3
Agora vamos lembrar (e justificar) a fórmula para a distância de um ponto
até um plano.
Se o plano tem equação
onde
é o vetor normal do plano e
é a constante, e se
tem coordenadas
, então a distância (valor absoluto da distância assinada) do ponto ao plano é
Explicação didática do porquê:
- A quantidade
dá a componente do vetor que liga um ponto qualquer do plano a na direção do normal , mas ainda com unidade do normal não normalizada. - Dividindo por
(o comprimento do normal) obtemos a projeção sobre o versor normal, isto é, a distância geométrica perpendicular (a menor distância) do ponto ao plano. - O valor absoluto aparece porque queremos distância positiva, independente do sinal da expressão.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dados do problema.
Temos:
e escolhemos o ponto da reta dado no enunciado:
Calcule o numerador:
O valor absoluto é
.
Calcule a norma do vetor normal:
Logo, a distância é
Como verificação rápida: pegar outro ponto qualquer da reta (por exemplo, tomar
em
dá
) e aplicar a mesma fórmula também dará
, mostrando que qualquer ponto da reta fornece a mesma distância (coerente com o paralelismo).
Passo 5
Podemos rationalizar a fração para uma forma alternativa:
Se for útil um valor aproximado: