Engenharia Química. Uma tubulação elevada segue a reta
r: X=(2,3,6)+t(1,-1,0)
Um plano de ventilação é dado por
\pi: x+y-8=0
Calcule a distância entre a tubulação e o plano de ventilação.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente duas informações e pede uma coisa:
  • Dado da tubulação (reta):
r:\; X=(2,3,6)+t(1,-1,0).
  • Um ponto qualquer da reta (por exemplo) é \,(2,3,6).
  • O vetor diretor da reta é \,(1,-1,0).
  • Dado do plano de ventilação:
\pi:\; x+y-8=0.
  • O vetor normal ao plano é \,(1,1,0).
  • A constante do plano (no formato \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+d=0) é d=-8.
  • O que o problema pede:
    • Calcular a distância entre a tubulação (reta r) e o plano \pi.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a reta é paralela ao plano ou se intersecta o plano. Por que isso importa? Porque:
  • Se a reta intersecta o plano, a distância é 0.
  • Se a reta é paralela ao plano, a distância é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta até o plano.
Regra para verificar paralelismo: uma reta com vetor diretor \mathbf{v} é paralela a um plano com normal \mathbf{n} se e só se
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0.
Aqui:
\mathbf{v}=(1,-1,0),\qquad \mathbf{n}=(1,1,0).
Calcule o produto escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=1\cdot1+(-1)\cdot1+0\cdot0=1-1+0=0.
Como o produto escalar é igual a zero, concluímos que a reta é paralela ao plano. Portanto a distância entre a reta e o plano é diferente de zero (em geral) e pode ser calculada como a distância de qualquer ponto da reta até o plano.

Passo 3

Agora vamos lembrar (e justificar) a fórmula para a distância de um ponto P_0 até um plano.
Se o plano tem equação
\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+d=0,
onde \mathbf{n} é o vetor normal do plano e d é a constante, e se P_0 tem coordenadas \mathbf{p_0}, então a distância (valor absoluto da distância assinada) do ponto ao plano é
\text{dist}(P_0,\pi)=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot\mathbf{p_0}+d\right|}{\|\mathbf{n}\|}.
Explicação didática do porquê:
  • A quantidade \mathbf{n}\cdot\mathbf{p_0}+d dá a componente do vetor que liga um ponto qualquer do plano a \mathbf{p_0} na direção do normal \mathbf{n}, mas ainda com unidade do normal não normalizada.
  • Dividindo por \|\mathbf{n}\| (o comprimento do normal) obtemos a projeção sobre o versor normal, isto é, a distância geométrica perpendicular (a menor distância) do ponto ao plano.
  • O valor absoluto aparece porque queremos distância positiva, independente do sinal da expressão.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados do problema.
Temos:
\mathbf{n}=(1,1,0),\qquad d=-8,
e escolhemos o ponto da reta dado no enunciado:
\mathbf{p_0}=(2,3,6).
Calcule o numerador:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{p_0}+d = 1\cdot2 + 1\cdot3 + 0\cdot6 + (-8) = 2+3-8 = -3.
O valor absoluto é \left|-3\right|=3.
Calcule a norma do vetor normal:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Logo, a distância é
\text{dist}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Como verificação rápida: pegar outro ponto qualquer da reta (por exemplo, tomar t=1 em r (3,2,6)) e aplicar a mesma fórmula também dará \dfrac{3}{\sqrt{2}}, mostrando que qualquer ponto da reta fornece a mesma distância (coerente com o paralelismo).

Passo 5

Podemos rationalizar a fração para uma forma alternativa:
\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Se for útil um valor aproximado:
\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2{,}121\ldots

Resposta

\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}121

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