Engenharia de Petróleo. Uma trajetória de perfuração é dada por
r: X=(100,50,-1500)+t(5,2,-7)
Uma camada geológica plana é representada por
\pi: x+y+z+1300=0 .
Verifique se a reta é paralela ao plano e calcule a distância entre eles.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A reta é dada parametricamente por
    r:\; X=(100,50,-1500)+t(5,2,-7),\quad t\in\mathbb{R}.
    Isso fornece:
    • um ponto da reta \,P_0=(100,50,-1500)\, (peguei do enunciado);
    • o vetor direção da reta \,v=(5,2,-7)\, (peguei do enunciado).
  • O plano é dado por
    \pi:\; x+y+z+1300=0.
    Isso fornece o vetor normal ao plano \,n=(1,1,1)\, (peguei do enunciado) e o termo constante d=1300.
  • O enunciado pede:
    1. Verificar se a reta é paralela ao plano.
    2. Calcular a distância entre a reta e o plano (se for paralela e distinta).

Passo 2

Critério para decidir paralelismo (aula rápida e didática).
  • Uma reta é paralela a um plano exatamente quando o vetor direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.
  • “Ortogonal” quer dizer que o produto escalar (dot product) entre os vetores é zero. Se v\cdot n=0, então v é perpendicular a n e a reta é paralela ao plano. Não confundir: se além disso um ponto da reta satisfaz a equação do plano, a reta está contida no plano; se não satisfaz, a reta é paralela porém distinta.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Calcular o produto escalar \,v\cdot n: v\cdot n = (5,2,-7)\cdot(1,1,1) = 5+2+(-7)=0.Como \,v\cdot n=0, concluímos que a reta é paralela ao plano (ou possivelmente contida nele). Ainda precisamos verificar se a reta está contida no plano ou é distinta.

Passo 3

Verificar se a reta está contida no plano (passo necessário).
  • Para isso, basta testar se algum ponto da reta (por exemplo P_0) satisfaz a equação do plano. Se sim, a reta está no plano; se não, é paralela e distinta.
Substituindo P_0=(100,50,-1500) em x+y+z+1300:
100+50+(-1500)+1300 = 100+50-1500+1300 = -50.
O resultado não é zero (obtivemos -50), portanto P_0 não pertence ao plano. Logo, a reta é paralela ao plano e não está contida nele (ou seja, são distintos).

Passo 4

Distância entre uma reta paralela a um plano e o plano (aula e fórmula).
  • Observação importante: se a reta é paralela ao plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano (essa distância é constante ao longo da reta). Então podemos usar a fórmula da distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) a um plano ax+by+cz+d=0: \text{dist}(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.Explicação breve do porquê: o numerador é o valor algébrico da equação do plano no ponto (proporcional à componente na direção do normal) e dividir por \|n\| corrige a escala, dando a projeção ortogonal (comprimento real da perpendicular).
No nosso caso o plano tem a=b=c=1 e d=1300, e usamos o ponto P_0=(100,50,-1500). Então:
\text{dist}=\frac{\big|1\cdot100+1\cdot50+1\cdot(-1500)+1300\big|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{\big|100+50-1500+1300\big|}{\sqrt{3}}=\frac{|{-50}|}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Simplificar a expressão da distância para uma forma racionalizada (opcional mas útil na prova).
Racionalizando o denominador:
\frac{50}{\sqrt{3}}=\frac{50\sqrt{3}}{3}.
Portanto ambas as formas são corretas e equivalentes.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não está contida nele.
\displaystyle \text{distância}=\frac{50}{\sqrt{3}}=\frac{50\sqrt{3}}{3}â

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