um ponto da reta \,P_0=(100,50,-1500)\, (peguei do enunciado);
o vetor direção da reta \,v=(5,2,-7)\, (peguei do enunciado).
O plano é dado por
\pi:\; x+y+z+1300=0.
Isso fornece o vetor normal ao plano \,n=(1,1,1)\, (peguei do enunciado) e o termo constante d=1300.
O enunciado pede:
Verificar se a reta é paralela ao plano.
Calcular a distância entre a reta e o plano (se for paralela e distinta).
Passo 2
Critério para decidir paralelismo (aula rápida e didática).
Uma reta é paralela a um plano exatamente quando o vetor direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.
“Ortogonal” quer dizer que o produto escalar (dot product) entre os vetores é zero. Se v\cdot n=0, então v é perpendicular a n e a reta é paralela ao plano. Não confundir: se além disso um ponto da reta satisfaz a equação do plano, a reta está contida no plano; se não satisfaz, a reta é paralela porém distinta.
Aplicando isso ao nosso caso:
Calcular o produto escalar \,v\cdot n:v\cdot n = (5,2,-7)\cdot(1,1,1) = 5+2+(-7)=0.Como \,v\cdot n=0, concluímos que a reta é paralela ao plano (ou possivelmente contida nele). Ainda precisamos verificar se a reta está contida no plano ou é distinta.
Passo 3
Verificar se a reta está contida no plano (passo necessário).
Para isso, basta testar se algum ponto da reta (por exemplo P_0) satisfaz a equação do plano. Se sim, a reta está no plano; se não, é paralela e distinta.
Substituindo P_0=(100,50,-1500) em x+y+z+1300:
100+50+(-1500)+1300 = 100+50-1500+1300 = -50.
O resultado não é zero (obtivemos -50), portanto P_0 não pertence ao plano. Logo, a reta é paralela ao plano e não está contida nele (ou seja, são distintos).
Passo 4
Distância entre uma reta paralela a um plano e o plano (aula e fórmula).
Observação importante: se a reta é paralela ao plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano (essa distância é constante ao longo da reta). Então podemos usar a fórmula da distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) a um plano ax+by+cz+d=0:\text{dist}(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.Explicação breve do porquê: o numerador é o valor algébrico da equação do plano no ponto (proporcional à componente na direção do normal) e dividir por \|n\| corrige a escala, dando a projeção ortogonal (comprimento real da perpendicular).
No nosso caso o plano tem a=b=c=1 e d=1300, e usamos o ponto P_0=(100,50,-1500). Então: