Um Engenheiro Agrícola está projetando colunas de suporte centrais para um mezanino, a ser construído em uma unidade de armazenamento de grãos. Cada coluna terá 4,0 m de altura, será articulada em ambas as extremidades (biarticulada), e deve suportar uma carga de compressão de projeto de 140,0 k N. O Engenheiro está avaliando duas opções de perfis, cujas informações estão listadas na tabela abaixo:
Coluna de aço
Tipo de aço Aço A-36
Tipo do perfil Circular vazado
Diâmetro externo ( d_{\text {ext }}, \mathrm{em} \mathrm{mm} ) 120,0
Espessura de parede (esp, em mm) 8,0
Área do perfil ( A, em \mathrm{mm}^{2} ) 2865,0
Raio de giração ( r, em mm) 39,6
Módulo de elasticidade ( E, \mathrm{GPa} ) 200,0
Tensão de escoamento ( \sigma_{E}, em MPa) 250,0
Fator de segurança 2,0
Coluna de Madeira
Tipo de madeira Eucalipto Tratado
Tipo de perfil Quadrado maciço
Dimensões ( \mathrm{mm} \times \mathrm{mm} ) 150,0 \times 150,0
Módulo de elasticidade ( E, \mathrm{GPa} ) 12,5
Tensão admissível ( \sigma_{A d m}, em MPa) 8,0
Para cada perfil de coluna:
a) Calcule o Índice de Esbeltez ( \lambda=L / r ).
b) Determine a equação de projeto a ser utilizada (Fórmula de Euler ou outras).
c) Calcule a carga admissível ( P_{\text {adm }} ).
d) Conclua se o perfil de coluna é seguro para a aplicação.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: para cada perfil (Coluna de aço e Coluna de madeira) calcular:
    a) Índice de esbeltez \lambda = L/r.
    b) Determinar qual equação de projeto usar (Euler, outro).
    c) Calcular a carga admissível P_{\text{adm}}.
    d) Concluir se o perfil é seguro para a carga de projeto P_{\text{req}} = 140{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Dados comuns:
    • Comprimento da coluna: L = 4{,}0\\ \mathrm{m} = 4000\\ \mathrm{mm}.
    • Carga de projeto: P_{\text{req}} = 140{,}0\\ \mathrm{kN} = 140\,000\\ \mathrm{N}.
  • Dados do perfil de aço (Aço A-36, circular vazado):
    • Diâmetro externo: d_{\text{ext}} = 120{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Espessura: \text{esp} = 8{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Área: A = 2865{,}0\\ \mathrm{mm}^2.
    • Raio de giração: r = 39{,}6\\ \mathrm{mm}.
    • Módulo de elasticidade: E = 200{,}0\\ \mathrm{GPa} = 200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2.
    • Tensão de escoamento: \sigma_E = 250{,}0\\ \mathrm{MPa}.
    • Fator de segurança: \text{FS} = 2{,}0.
  • Dados do perfil de madeira (Eucalipto tratado, quadrado maciço):
    • Dimensões: 150{,}0\times150{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Área: A = 150\cdot150 = 22\,500\\ \mathrm{mm}^2.
    • Módulo de elasticidade: E = 12{,}5\\ \mathrm{GPa} = 12\,500\\ \mathrm{N/mm}^2.
    • Tensão admissível: \sigma_{\text{Adm}} = 8{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Resumo: temos L, A, r (para aço), E, \sigma e \text{FS}. A partir disso vamos calcular \lambda, decidir a fórmula (Euler se coluna suficientemente esbelta), obter P_{\text{adm}} e comparar com 140{,}0\\ \mathrm{kN}.

Passo 2

Cálculo do índice de esbeltez para a coluna de aço.
  • Fórmula: \lambda = \dfrac{L}{r}, onde
    • L é o comprimento efetivo da coluna (em mm),
    • r é o raio de giração (em mm).
  • Substituindo os valores:
    \lambda_{\text{aço}} = \dfrac{4000}{39{,}6} \approx 101{,}0.ç
Interpretação curta (não é solução final): esse \lambda é a razão entre comprimento e a “geometria” da seção; valores maiores indicam maior tendência ao flambagem.

Passo 3

Cálculo do índice de esbeltez para a coluna de madeira (perfil quadrado maciço).
  • Para seção quadrada de lado a temos:
    • Área: A = a^2.
    • Momento de inércia (em torno de eixo que passa pelo centro): I = \dfrac{a^4}{12}.
    • Raio de giração: r = \sqrt{\dfrac{I}{A}} = \sqrt{\dfrac{a^4/12}{a^2}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{12}} = \dfrac{a}{\sqrt{12}}.
  • Com a = 150{,}0\\ \mathrm{mm}:
    I = \dfrac{150^4}{12} = 42\,187\,500\\ \mathrm{mm}^4, \qquad A = 22\,500\\ \mathrm{mm}^2,
r = \sqrt{\dfrac{I}{A}} = \sqrt{\dfrac{42\,187\,500}{22\,500}} = \sqrt{1875} \approx 43{,}301\\ \mathrm{mm}.
  • Índice de esbeltez: \lambda_{\text{madeira}} = \dfrac{4000}{43{,}301} \approx 92{,}4.

Passo 4

Decidir qual equação de projeto usar (Euler ou controle de resistência do material) — critério e explicação didática.
  • Ideia física: se a coluna for muito esbelta (grande \lambda), a falha ocorre por flambagem elástica e a fórmula de Euler é apropriada. Se for pouco esbelta, a coluna falha por esmagamento (resistência compressiva do material) e deve-se usar a tensão admissível do material. Há uma transição entre regimes.
  • Critério prático (limite de esbeltez): pode-se usar o valor crítico
    \lambda_{\text{lim}} = \pi\sqrt{\dfrac{E}{\sigma_y}},
    onde \sigma_y é a tensão de fluência (ou tensão característica de colapso). A ideia: se \lambda>\lambda_{\text{lim}} então flambagem elástica (Euler) controla; se \lambda<\lambda_{\text{lim}} então a resistência do material (influência inelástica) controla.
  • Aplicando para o aço (usar \sigma_y=\sigma_E):
    \lambda_{\text{lim,aço}} = \pi\sqrt{\dfrac{200\,000}{250}} = \pi\sqrt{800} \approx \pi\cdot28{,}284 \approx 88{,}8.ç
    Comparando com \lambda_{\text{aço}} \approx 101{,}0ç, tem-se \lambda_{\text{aço}}>\lambda_{\text{lim,aço}}çç. Conclusão: comportamento dominado por flambagem elástica → usar fórmula de Euler.
  • Aplicando para a madeira: aqui não há “escoamento” igual ao aço; usa-se a tensão admissível \sigma_{\text{Adm}}=8{,}0\\ \mathrm{MPa} para avaliar a transição (criterioso, pois \sigma_{\text{Adm}} já é uma tensão de projeto):
    \lambda_{\text{lim,madeira}} = \pi\sqrt{\dfrac{12\,500}{8}} = \pi\sqrt{1562{,}5} \approx \pi\cdot39{,}528 \approx 124{,}2.
    Comparando com \lambda_{\text{madeira}}\approx 92{,}4, tem-se \lambda_{\text{madeira}}<\lambda_{\text{lim,madeira}}. Conclusão: regime controlado pela resistência do material (compressão direta) — usar tensão admissível do projeto \sigma_{\text{Adm}}.
Resumo da decisão:
  • Aço: usar fórmula de Euler (flambagem elástica).
  • Madeira: usar tensão admissível \sigma_{\text{Adm}} (compressão direta/inelástico).

Passo 5

Cálculo detalhado da carga admissível para a coluna de aço (usar Euler + fator de segurança).
  • Fórmula de Euler para carga crítica elástica:
    P_{cr} = \dfrac{\pi^2 E I}{L^2},
    onde I é o momento de inércia. Podemos obter I a partir de r e A por I = A r^2.
  • Calcular I usando os dados do enunciado (peguei A e r da tabela):
    I = A r^2 = 2865{,}0\cdot(39{,}6)^2 = 2865{,}0\cdot1568{,}16 \approx 4\,492\,778{,}4\\ \mathrm{mm}^4.
  • Calcular P_{cr}:
    P_{cr} = \dfrac{\pi^2\cdot 200\,000\cdot 4\,492\,778{,}4}{4000^2} \approx 554\,274\\ \mathrm{N} \approx 554{,}3\\ \mathrm{kN}.
    (Explicação rápida: convertiu-se E para \mathrm{N/mm}^2 porque os comprimentos estão em mm; unidades finais de P_{cr} são N.)
  • Aplicar fator de segurança \text{FS} = 2{,}0 (informado na tabela) para obter a carga admissível:
    P_{\text{adm,aço}} = \dfrac{P_{cr}}{\text{FS}} = \dfrac{554{,}3\\ \mathrm{kN}}{2{,}0} \approx 277{,}1\\ \mathrm{kN}.ç
  • Verificação adicional (tensão resultante com P_{\text{adm,aço}}ç):
    \sigma = \dfrac{P_{\text{adm,aço}}}{A} = \dfrac{277\,137\\ \mathrm{N}}{2865\\ \mathrm{mm}^2} \approx 96{,}7\\ \mathrm{MPa},ç
    que é menor que \sigma_E/\text{FS}=250/2=125\\ \mathrm{MPa}, portanto não ocorre escoamento antes do flambagem prevista por Euler (coerente).

Passo 6

Cálculo detalhado da carga admissível para a coluna de madeira (usar tensão admissível de projeto).
  • Para regime controlado pela resistência do material (compressão direta), a carga admissível é:
    P_{\text{adm,madeira}} = \sigma_{\text{Adm}}\cdot A.
  • Substituindo os valores (peguei A e \sigma_{\text{Adm}} da tabela):
    P_{\text{adm,madeira}} = 8{,}0\\ \mathrm{N/mm}^2 \cdot 22\,500\\ \mathrm{mm}^2 = 180\,000\\ \mathrm{N} = 180{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Verificação adicional (checar P_{cr} de Euler apenas como controle): calculando P_{cr} elástico para a madeira
    P_{cr,\text{madeira}} = \dfrac{\pi^2 E I}{L^2}
    usando E=12\,500\\ \mathrm{N/mm}^2 e I=42\,187\,500\\ \mathrm{mm}^4 (calculado no Passo 3) dá aproximadamente
    P_{cr,\text{madeira}} \approx 325{,}3\\ \mathrm{kN}.
    Como P_{cr,\text{madeira}}>P_{\text{adm,madeira}}, o controle é realmente a tensão admissível (o valor de Euler é mais alto), então a escolha de usar \sigma_{\text{Adm}} é conservadora e correta.

Passo 7

Conclusão sobre segurança comparando P_{\text{adm}} com a carga de projeto P_{\text{req}}=140{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Para o aço:
    • P_{\text{adm,aço}} \approx 277{,}1\\ \mathrm{kN}ç.
    • Como 277{,}1\\ \mathrm{kN} > 140{,}0\\ \mathrm{kN}, o perfil de aço é seguro frente à flambagem e ao escoamento com o FS adotado.
  • Para a madeira:
    • P_{\text{adm,madeira}} = 180{,}0\\ \mathrm{kN}.
    • Como 180{,}0\\ \mathrm{kN} > 140{,}0\\ \mathrm{kN}, o perfil de madeira também é seguro segundo a tensão admissível fornecida.
Observação final amigável: ambos os perfis suportam a carga de projeto com folga; o aço tem maior reserva contra flambagem (mesmo após aplicar FS), e a madeira também atende se \sigma_{\text{Adm}} já contemplar fatores de segurança e condições de serviço. Em projeto real também se avalia detalhes de ligações, imperfeições iniciais, tratamento contra incêndio, ligação ao piso e à mezanino, e possíveis cargas excêntricas.

Resposta

Perfil Aço (circular vazado):
(a) \lambda = \dfrac{L}{r} = \dfrac{4000}{39{,}6} \approx 101{,}0.
(b) Equação: Fórmula de Euler (flambagem elástica) \;P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L^2}.
(c) P_{\text{adm}} = \dfrac{P_{cr}}{\text{FS}} \approx \dfrac{554{,}3\\ \mathrm{kN}}{2{,}0} \approx 277{,}1\\ \mathrm{kN}.
(d) Seguro: SIM (pois 277{,}1\\ \mathrm{kN} > 140{,}0\\ \mathrm{kN}).
Perfil Madeira (quadrado maciço 150\times150\\ \mathrm{mm}):
(a) \lambda = \dfrac{L}{r} = \dfrac{4000}{43{,}301} \approx 92{,}4.
(b) Equação: controle pela tensão admissível (compressão direta) \;P_{\text{adm}}=\sigma_{\text{Adm}}\cdot A (regime inelástico/resistência do material).
(c) P_{\text{adm}} = 8{,}0\\ \mathrm{MPa}\cdot 22\,500\\ \mathrm{mm}^2 = 180{,}0\\ \mathrm{kN}.
(d) Seguro: SIM (pois 180{,}0\\ \mathrm{kN} > 140{,}0\\ \mathrm{kN}).

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