Um Engenheiro Agrícola está projetando colunas de suporte centrais para um mezanino, a ser construído em uma unidade de armazenamento de grãos. Cada coluna terá
de altura, será articulada em ambas as extremidades (biarticulada), e deve suportar uma carga de compressão de projeto de
. O Engenheiro está avaliando duas opções de perfis, cujas informações estão listadas na tabela abaixo:
Coluna de aço
Tipo de aço
Aço A-36
Tipo do perfil
Circular vazado
Diâmetro externo (
)
120,0
Espessura de parede (esp, em mm)
8,0
Área do perfil (
, em
)
2865,0
Raio de giração (
, em mm)
39,6
Módulo de elasticidade (
)
200,0
Tensão de escoamento (
, em MPa)
250,0
Fator de segurança
2,0
Coluna de Madeira
Tipo de madeira
Eucalipto Tratado
Tipo de perfil
Quadrado maciço
Dimensões (
)
Módulo de elasticidade (
)
12,5
Tensão admissível (
, em MPa)
8,0
Para cada perfil de coluna:
a) Calcule o Índice de Esbeltez (
).
b) Determine a equação de projeto a ser utilizada (Fórmula de Euler ou outras).
c) Calcule a carga admissível (
).
d) Conclua se o perfil de coluna é seguro para a aplicação.
| Coluna de aço | |
| Tipo de aço | Aço A-36 |
| Tipo do perfil | Circular vazado |
| Diâmetro externo (
|
120,0 |
| Espessura de parede (esp, em mm) | 8,0 |
| Área do perfil (
|
2865,0 |
| Raio de giração (
|
39,6 |
| Módulo de elasticidade (
|
200,0 |
| Tensão de escoamento (
|
250,0 |
| Fator de segurança | 2,0 |
| Coluna de Madeira | |
| Tipo de madeira | Eucalipto Tratado |
| Tipo de perfil | Quadrado maciço |
| Dimensões (
|
|
| Módulo de elasticidade (
|
12,5 |
| Tensão admissível (
|
8,0 |
a) Calcule o Índice de Esbeltez (
b) Determine a equação de projeto a ser utilizada (Fórmula de Euler ou outras).
c) Calcule a carga admissível (
d) Conclua se o perfil de coluna é seguro para a aplicação.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Pedido: para cada perfil (Coluna de aço e Coluna de madeira) calcular:
a) Índice de esbeltez.
b) Determinar qual equação de projeto usar (Euler, outro).
c) Calcular a carga admissível.
d) Concluir se o perfil é seguro para a carga de projeto. -
Dados comuns:
- Comprimento da coluna:
. - Carga de projeto:
.
- Comprimento da coluna:
-
Dados do perfil de aço (Aço A-36, circular vazado):
- Diâmetro externo:
. - Espessura:
. - Área:
. - Raio de giração:
. - Módulo de elasticidade:
. - Tensão de escoamento:
. - Fator de segurança:
.
- Diâmetro externo:
-
Dados do perfil de madeira (Eucalipto tratado, quadrado maciço):
- Dimensões:
. - Área:
. - Módulo de elasticidade:
. - Tensão admissível:
.
- Dimensões:
Resumo: temos
,
,
(para aço),
,
e
. A partir disso vamos calcular
, decidir a fórmula (Euler se coluna suficientemente esbelta), obter
e comparar com
.
Passo 2
Cálculo do índice de esbeltez para a coluna de aço.
-
Fórmula:
, onde -
é o comprimento efetivo da coluna (em mm), -
é o raio de giração (em mm).
-
-
Substituindo os valores:
Interpretação curta (não é solução final): esse
é a razão entre comprimento e a “geometria” da seção; valores maiores indicam maior tendência ao flambagem.
Passo 3
Cálculo do índice de esbeltez para a coluna de madeira (perfil quadrado maciço).
-
Para seção quadrada de lado
temos: - Área:
. - Momento de inércia (em torno de eixo que passa pelo centro):
. - Raio de giração:
.
- Área:
-
Com
:
- Índice de esbeltez:
Passo 4
Decidir qual equação de projeto usar (Euler ou controle de resistência do material) — critério e explicação didática.
-
Ideia física: se a coluna for muito esbelta (grande
), a falha ocorre por flambagem elástica e a fórmula de Euler é apropriada. Se for pouco esbelta, a coluna falha por esmagamento (resistência compressiva do material) e deve-se usar a tensão admissível do material. Há uma transição entre regimes. -
Critério prático (limite de esbeltez): pode-se usar o valor críticoonde
é a tensão de fluência (ou tensão característica de colapso). A ideia: se então flambagem elástica (Euler) controla; se então a resistência do material (influência inelástica) controla. -
Aplicando para o aço (usar
): Comparando com, tem-se . Conclusão: comportamento dominado por flambagem elástica → usar fórmula de Euler. -
Aplicando para a madeira: aqui não há “escoamento” igual ao aço; usa-se a tensão admissível
para avaliar a transição (criterioso, pois já é uma tensão de projeto): Comparando com, tem-se . Conclusão: regime controlado pela resistência do material (compressão direta) — usar tensão admissível do projeto .
Resumo da decisão:
- Aço: usar fórmula de Euler (flambagem elástica).
- Madeira: usar tensão admissível
(compressão direta/inelástico).
Passo 5
Cálculo detalhado da carga admissível para a coluna de aço (usar Euler + fator de segurança).
-
Fórmula de Euler para carga crítica elástica:onde
é o momento de inércia. Podemos obter a partir de e por . -
Calcular
usando os dados do enunciado (peguei e da tabela): -
Calcular
: (Explicação rápida: convertiu-separa porque os comprimentos estão em mm; unidades finais de são N.) -
Aplicar fator de segurança
(informado na tabela) para obter a carga admissível: -
Verificação adicional (tensão resultante com
): que é menor que, portanto não ocorre escoamento antes do flambagem prevista por Euler (coerente).
Passo 6
Cálculo detalhado da carga admissível para a coluna de madeira (usar tensão admissível de projeto).
-
Para regime controlado pela resistência do material (compressão direta), a carga admissível é:
-
Substituindo os valores (peguei
e da tabela): -
Verificação adicional (checar
de Euler apenas como controle): calculando elástico para a madeira usandoe (calculado no Passo 3) dá aproximadamente Como, o controle é realmente a tensão admissível (o valor de Euler é mais alto), então a escolha de usar é conservadora e correta.
Passo 7
Conclusão sobre segurança comparando
com a carga de projeto
.
-
Para o aço:
-
. - Como
, o perfil de aço é seguro frente à flambagem e ao escoamento com o FS adotado.
-
-
Para a madeira:
-
. - Como
, o perfil de madeira também é seguro segundo a tensão admissível fornecida.
-
Observação final amigável: ambos os perfis suportam a carga de projeto com folga; o aço tem maior reserva contra flambagem (mesmo após aplicar FS), e a madeira também atende se
já contemplar fatores de segurança e condições de serviço. Em projeto real também se avalia detalhes de ligações, imperfeições iniciais, tratamento contra incêndio, ligação ao piso e à mezanino, e possíveis cargas excêntricas.
Resposta
Perfil Aço (circular vazado):
(a) .
(b) Equação: Fórmula de Euler (flambagem elástica) .
(c)
(d) Seguro: SIM (pois ).
(a)
(b) Equação: Fórmula de Euler (flambagem elástica)
(c)
(d) Seguro: SIM (pois
Perfil Madeira (quadrado maciço
):
(a) .
(b) Equação: controle pela tensão admissível (compressão direta) (regime inelástico/resistência do material).
(c)
(d) Seguro: SIM (pois ).
(a)
(b) Equação: controle pela tensão admissível (compressão direta)
(c)
(d) Seguro: SIM (pois