Um tirante de aço, modelado como uma haste cilíndrica maciça com
de comprimento, é utilizado para dar suporte axial à estrutura de um silo, que está sujeito a uma força de compressão de
. As extremidades do tirante são conectadas por pinos, que permitem a livre rotação (biarticulado). Sabendo que para evitar falha por flambagem, deve-se usar um fator de segurança de 2,5 , calcule o diâmetro mínimo (d, em mm ) que o tirante de aço deve ter para suportar a carga com segurança.
Passo 1
O enunciado pede o diâmetro mínimo de um tirante cilíndrico maciço de aço, biarticulado (pinos nas duas extremidades), para suportar uma força compressiva com segurança. Dados fornecidos:
- comprimento do tirante:
; - carga compressiva aplicada:
; - fator de segurança requerido:
.
Pergunta explícita: qual o diâmetro mínimo(em mm) que o tirante deve ter para que a falha por flambagem seja evitada com o fator de segurança dado?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e didáticas).
- Flambagem (ou pandeo) é uma instabilidade elástica pela qual uma haste submetida a compressão lateralmente se deforma antes de atingir resistência última do material. Para hastes esbeltas, a carga crítica de flambagem pode ser estimada pela fórmula de Euler.
- Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem:
onde:
-
é a carga crítica (a partir da qual ocorre flambagem); -
é o módulo de elasticidade do material (rigidez do material); -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro; -
é o comprimento efetivo da barra, que depende das condições de apoio. - Para uma haste com extremidades biarticuladas (pinos em ambas as extremidades), o comprimento efetivo é
(fator de esbeltez ). - Para seção circular maciça, o momento de inércia é:
onde
é o diâmetro da seção.
Explicando em palavras simples: Pensa que a haste “falha” por flambagem quando a carga atinge
. Para segurança, devemos exigir que a carga crítica seja maior que a carga real multiplicada pelo fator de segurança. Ou seja, pedir que:
Isso garante margem contra flambagem.
Passo 3
Definir a carga crítica requerida para o dimensionamento:
Substituindo números (conversão para unidades SI:
):
Passo 4
Relacionar
com o diâmetro
e isolar
.
Partindo de
Partindo de
temos
Queremos
, então isole
:
Explicando: multiplique ambos os lados por
e divida por
. Assim obtém-se
em função de parâmetros conhecidos.
Passo 5
Escolher
para o aço e converter unidades.
- Módulo de elasticidade típico do aço estrutural:
.
Agora substituir valores em SI na fórmula:
Substituindo
,
e
:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador (aproximação numérica de
):
Portanto
Passo 6
Obter
extraindo a raiz quarta.
Uma forma prática é tomar duas raízes quadradas sucessivas:
Uma forma prática é tomar duas raízes quadradas sucessivas:
Convertendo para milímetros:
Passo 7
Interpretação e arredondamento prático.
- O valor obtido
é o diâmetro mínimo teórico. Na prática costuma-se adotar um diâmetro comercial ou arredondar para cima para garantir a segurança e tolerâncias de fabricação. - Arredondando para um valor prático e seguro, escolhe-se
.
Resposta
65 mm