Um tirante de aço, modelado como uma haste cilíndrica maciça com 3,0 m de comprimento, é utilizado para dar suporte axial à estrutura de um silo, que está sujeito a uma força de compressão de 80,0 k N. As extremidades do tirante são conectadas por pinos, que permitem a livre rotação (biarticulado). Sabendo que para evitar falha por flambagem, deve-se usar um fator de segurança de 2,5 , calcule o diâmetro mínimo (d, em mm ) que o tirante de aço deve ter para suportar a carga com segurança.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro mínimo de um tirante cilíndrico maciço de aço, biarticulado (pinos nas duas extremidades), para suportar uma força compressiva com segurança. Dados fornecidos:
  • comprimento do tirante: L=3{,}0\\ \mathrm{m};
  • carga compressiva aplicada: P=80{,}0\\ \mathrm{kN};
  • fator de segurança requerido: SF=2{,}5.
    Pergunta explícita: qual o diâmetro mínimo d (em mm) que o tirante deve ter para que a falha por flambagem seja evitada com o fator de segurança dado?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e didáticas).
  • Flambagem (ou pandeo) é uma instabilidade elástica pela qual uma haste submetida a compressão lateralmente se deforma antes de atingir resistência última do material. Para hastes esbeltas, a carga crítica de flambagem pode ser estimada pela fórmula de Euler.
  • Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{L_{e}^{2}},
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica (a partir da qual ocorre flambagem);
  • E é o módulo de elasticidade do material (rigidez do material);
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro;
  • L_{e} é o comprimento efetivo da barra, que depende das condições de apoio.
  • Para uma haste com extremidades biarticuladas (pinos em ambas as extremidades), o comprimento efetivo é L_{e}=L (fator de esbeltez K=1).
  • Para seção circular maciça, o momento de inércia é:
I=\frac{\pi d^{4}}{64},
onde d é o diâmetro da seção.
Explicando em palavras simples: Pensa que a haste “falha” por flambagem quando a carga atinge P_{cr}. Para segurança, devemos exigir que a carga crítica seja maior que a carga real multiplicada pelo fator de segurança. Ou seja, pedir que:
P_{cr}\ge SF\cdot P.
Isso garante margem contra flambagem.

Passo 3

Definir a carga crítica requerida para o dimensionamento:
P_{req}=SF\cdot P.
Substituindo números (conversão para unidades SI: 1\\ \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}):
P_{req}=2{,}5\times 80{,}0\\ \mathrm{kN}=2{,}5\times 80{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{N}=200{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{N}=200\,000\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Relacionar P_{cr} com o diâmetro d e isolar d.
Partindo de
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{L^{2}} \qquad\text{e}\qquad I=\frac{\pi d^{4}}{64},
temos
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E}{L^{2}}\cdot\frac{\pi d^{4}}{64}=\frac{\pi^{3} E d^{4}}{64 L^{2}}.
Queremos P_{cr}=P_{req}, então isole d^{4}:
d^{4}=\frac{64 L^{2} P_{req}}{\pi^{3} E}.
Explicando: multiplique ambos os lados por 64L^{2} e divida por \pi^{3}E. Assim obtém-se d^{4} em função de parâmetros conhecidos.

Passo 5

Escolher E para o aço e converter unidades.
  • Módulo de elasticidade típico do aço estrutural: E=210\\ \mathrm{GPa}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    Agora substituir valores em SI na fórmula:
d^{4}=\frac{64\cdot L^{2}\cdot P_{req}}{\pi^{3}\cdot E}.
Substituindo L=3{,}0\\ \mathrm{m}, P_{req}=200\,000\\ \mathrm{N} e E=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}:
d^{4}=\frac{64\cdot(3{,}0)^{2}\cdot 200\,000}{\pi^{3}\cdot 210\times10^{9}}.
Calcule o numerador:
64\cdot(3{,}0)^{2}\cdot 200\,000 = 64\cdot 9\cdot 200\,000 = 576\cdot 200\,000 = 115\,200\,000.
Calcule o denominador (aproximação numérica de \pi^{3}):
\pi^{3}\cdot 210\times10^{9}\approx 31{,}0063\cdot 210\times10^{9}\approx 6{,}511{,}324\times10^{12}.
Portanto
d^{4}\approx\frac{1{,}152\times10^{8}}{6{,}511{,}324\times10^{12}}\approx 1{,}77\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 6

Obter d extraindo a raiz quarta.
Uma forma prática é tomar duas raízes quadradas sucessivas:
\sqrt{d^{4}}=d^{2}=\sqrt{1{,}77\times10^{-5}}\approx 4{,}205\times10^{-3},
d=\sqrt{d^{2}}=\sqrt{4{,}205\times10^{-3}}\approx 6{,}487\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
d\approx 0{,}06487\\ \mathrm{m}=64{,}87\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento prático.
  • O valor obtido d\approx 64{,}87\\ \mathrm{mm} é o diâmetro mínimo teórico. Na prática costuma-se adotar um diâmetro comercial ou arredondar para cima para garantir a segurança e tolerâncias de fabricação.
  • Arredondando para um valor prático e seguro, escolhe-se d=65\\ \mathrm{mm}.

Resposta

65 mm

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