Uma coluna de aço de perfil retangular tubular vazado tem seção 150 \mathrm{~mm} \times 100 \mathrm{~mm}, espessura de parede de 6,0 \mathrm{~mm}, altura de 4,5 \mathrm{~m}, e é utilizada para suportar a cobertura de um galpão. A base da coluna é engastada no concreto e o topo é articulado para conectar com a viga da cobertura. Sabendo que a coluna deve suportar uma carga de compressão de 250 k N e que tem momento de igual a I_{x}=5,7 \times 10^{6} m m^{4} (plano yz), I_{y}=3,1 \times 10^{6} m m^{4} (plano xz):
a) Calcule a carga crítica de flambagem ( P_{c r i t} ) para a coluna.
b) Verifique se a coluna é segura para a aplicação indicada.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a carga crítica de flambagem ( P_{crit}) da coluna.
  • (b) Verificar se a coluna é segura para suportar a carga de compressão 250\\ \text{kN}.
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • Seção externa: \,150\\ \text{mm} \times 100\\ \text{mm}\,.
  • Espessura da parede: \,t=6{,}0\\ \text{mm}\,.
  • Altura da coluna: \,L=4{,}5\\ \text{m}\,=\;4500\\ \text{mm}.
  • Condições de contorno: base engastada, topo articulado (logo fator de comprimento efetivo K relevante).
  • Carga de serviço (compressão): \,P_{aplicada}=250\\ \text{kN}=250\,000\\ \text{N}.
  • Momentos de inércia (dados): \,I_x = 5{,}7\times10^{6}\\ \text{mm}^4 (plano yz), \,I_y = 3{,}1\times10^{6}\\ \text{mm}^4 (plano xz).
    Observação: a flambagem ocorrerá no eixo que tiver menor rigidez flexional (menor I); devemos comparar os dois e usar o menor I para calcular P_{crit}.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e o significado das variáveis (aula rápida).
Para colunas esbeltas, a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem é:
P_{crit}=\frac{\pi^{2}\,E\,I}{(K\,L)^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \pi é a constante 3,14159…
  • \,E é o módulo de elasticidade do material (para aço estrutural usaremos E=210\\ \text{GPa}=210\,000\\ \text{N}/\text{mm}^{2}).
  • \,I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão (em \text{mm}^4).
  • \,L é o comprimento da coluna (em \text{mm}).
  • \,K é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de apoio. Para base engastada e topo articulado o valor padrão é \,K\approx0{,}7 (às vezes tabelado como 0{,}699); usaremos K=0{,}7.
    Importante: devemos usar unidades coerentes (aqui N e mm), então mantemos E em \text{N}/\text{mm}^2, I em \text{mm}^4, L em \text{mm}.

Passo 3

Escolher o eixo crítico (menor rigidez).
Os momentos fornecidos são:
I_x = 5{,}7\times10^{6}\\ \text{mm}^4,\qquad I_y = 3{,}1\times10^{6}\\ \text{mm}^4.
O menor é I_y. Logo a flambagem ocorrerá por flexão em torno do eixo que usa I_y. Usaremos I=I_y=3{,}1\times10^{6}\\ \text{mm}^4 no cálculo de P_{crit}.

Passo 4

Calcular o comprimento efetivo K\,L.
Dados:
L=4500\\ \text{mm},\qquad K=0{,}7.
Logo
K\,L = 0{,}7 \times 4500 = 3150\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular a carga crítica usando I_y.
Substituindo na fórmula de Euler:
P_{crit}=\frac{\pi^{2}\,E\,I_{y}}{(K\,L)^{2}}.
Substituindo valores numéricos:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\quad E=210\,000\\ \text{N}/\text{mm}^{2},\quad I_{y}=3{,}1\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}, \quad (K\,L)^{2}=(3150)^{2}=9{,}922{,}500\\ \text{mm}^{2}.
Agora o numerador:
\pi^{2} E I_{y} \approx 9{,}8696 \times 210{,}000 \times 3{,}100{,}000 =9{,}8696 \times 651{,}000{,}000{,}000 \approx 6{,}4228\times10^{12}.
Dividindo:
P_{crit} \approx \frac{6{,}4228\times10^{12}}{9{,}922{,}500}\\ \text{N} \approx 6{,}47596\times10^{5}\\ \text{N}.
Em unidades práticas:
P_{crit}\approx 647{,}6\\ \text{kN}.

Passo 6

Verificação rápida: carga crítica no outro eixo (opcional) para confirmar que I_y realmente dá o menor P_{crit}.
Usando I_x=5{,}7\times10^{6}\\ \text{mm}^4 a mesma fórmula daria:
P_{crit,x}=P_{crit,y}\times\frac{I_x}{I_y}\approx 647{,}6\\ \text{kN}\times\frac{5{,}7}{3{,}1}\approx 1{,}191\\ \text{kN}.
Portanto o menor P_{crit} é mesmo o calculado com I_y (aprox. 648\\ \text{kN}).

Passo 7

Calcular a área da seção transversal e a tensão de serviço (para verificação adicional).
Área da seção tubular retangular:
A = \text{Área externa} - \text{Área interna}.ÁÁ
Dimensões internas:
b_{int}=150-2t=150-12=138\\ \text{mm},\qquad h_{int}=100-2t=100-12=88\\ \text{mm}.
Logo
A = 150\times100 - 138\times88 = 15{,}000 - 12{,}144 = 2{,}856\\ \text{mm}^2.
Tensão média de compressão por carga aplicada:
\sigma_{aplicada}=\frac{P_{aplicada}}{A}=\frac{250{,}000}{2{,}856}\\ \text{N}/\text{mm}^2 \approx 87{,}5\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 87{,}5\\ \text{MPa}.

Passo 8

Calcular tensão crítica equivalente e razão de segurança.
Tensão crítica associada à carga de Euler:
\sigma_{crit}=\frac{P_{crit}}{A}=\frac{647{,}596}{2{,}856}\\ \text{N}/\text{mm}^2 \approx 226{,}8\\ \text{MPa}.
Fator de segurança em relação à flambagem (relação P_{crit}/P_{aplicada}):
\text{FS}=\frac{P_{crit}}{P_{aplicada}}=\frac{647{,}6\\ \text{kN}}{250\\ \text{kN}}\approx 2{,}59.

Passo 9

Verificação de esbeltez (checar validade de Euler).
Raio de giração relativo ao eixo crítico:
r=\sqrt{\frac{I_{y}}{A}}=\sqrt{\frac{3{,}100{,}000}{2{,}856}}\\ \text{mm} =\sqrt{1{,}086{,}645}\\ \text{mm}\approx 32{,}96\\ \text{mm}.
Esbeltez (razão de comprimento efetivo / raio de giração):
\lambda=\frac{K\,L}{r}=\frac{3150}{32{,}96}\approx 95{,}6.
Comentário curto: \lambda\approx 95{,}6 é uma esbeltez relativamente alta (coluna esbelta), então a fórmula de Euler é razoavelmente aplicável. Além disso a tensão aplicada \sigma_{aplicada}\approx87{,}5\\ \text{MPa} é bem abaixo da tensão crítica de flambagem \sigma_{crit}\approx226{,}8\\ \text{MPa} e também abaixo do escoamento típico do aço estrutural (por exemplo, aço S235 tem \,f_y\approx235\\ \text{MPa}, S275 tem 275\\ \text{MPa}, etc.). Assim, a falha por flambagem só ocorreria se a carga subisse até cerca de 648\\ \text{kN}; com 250\\ \text{kN} a coluna está confortável segundo este cálculo elástico.

Passo 10

Conclusão final e resposta direta.
  • A carga crítica de flambagem (Euler) para a orientação crítica (menor I) é aproximadamente 648\\ \text{kN}.
  • Como a carga aplicada é 250\\ \text{kN}, menor que P_{crit} e com fator de segurança \approx 2{,}59, e a tensão de serviço \approx87{,}5\\ \text{MPa} está bem abaixo de \sigma_{crit} e do escoamento típico do aço, a coluna pode ser considerada segura para a aplicação indicada (pelo critério de flambagem elástica e verificação de tensões médias). Incentivo final: é sempre prudente, em projeto real, aplicar as prescrições e coeficientes de segurança da norma vigente (normas de dimensionamento resistente podem exigir fatores de redução, resistência de projeto, verificações locais de flambagem por fletor-torção, ligação com vigas etc.), mas pelo cálculo clássico acima a coluna resiste à carga de 250\\ \text{kN}.

Resposta

(a) P_{crit}\approx 648\\ \text{kN}.
(b) Sim. A coluna é segura para a carga de 250\\ \text{kN} (fator de segurança aproximado 2{,}59; tensão de serviço \approx87{,}5\\ \text{MPa} bem abaixo da tensão crítica \approx226{,}8\\ \text{MPa}).

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