Um Engenheiro Agrícola está projetando uma pequena ponte de madeira para a passagem de carrinhos de mão sobre um canal de irrigação em uma fazenda. A ponte será feita de vigas de madeira de Eucalipto apoiadas, com um vão livre de 2,50 m. Cada viga terá uma base de 50 mm e deve ser dimensionada para suportar uma carga concentrada máxima de 4,00 k N em seu centro, que simula o peso de um carrinho de mão carregado. Considerando que a tensão normal admissível para a madeira utilizada é de 8,50 M P a, calcule a altura mínima ( h ) que a viga de madeira deve ter para suportar a carga com segurança.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números que temos):
  • Vão livre: L = 2,50\\ \mathrm{m}.
  • Carga concentrada no centro da viga (representando o carrinho): P = 4,00\\ \mathrm{kN}.
  • Base (largura) da seção retangular da viga: b = 50\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão normal admissível da madeira: \sigma_{\text{adm}} = 8,50\\ \mathrm{MPa}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a altura mínima h da viga de madeira para que ela suporte a carga com segurança.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem jargões complicados): para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada no meio, a peça pode falhar por flexão (torção não é o caso aqui). A verificação de flexão usa a expressão da tensão de flexão máxima:
\sigma = \frac{M_{\max}\,c}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão de flexão no ponto mais solicitado (N/m²);
  • M_{\max} é o momento fletor máximo (N·m);
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra extrema (m);
  • I é o momento de inércia da seção (m⁴).
A condição de segurança é que a tensão calculada não ultrapasse a tensão admissível:
\sigma \le \sigma_{\text{adm}}.
Vou usar essa fórmula, expor o I e c para uma seção retangular, e resolver para h. É o caminho mais direto e o que se usa numa prova.

Passo 3

Momento fletor máximo para viga simplesmente apoiada com carga central:
M_{\max}=\frac{P\,L}{4}.
Primeiro ponho todas as unidades em SI. Peguei P do enunciado:
P = 4,00\\ \mathrm{kN} = 4,00\times10^{3}\\ \mathrm{N}, \qquad L = 2,50\\ \mathrm{m}.
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M_{\max}=\frac{4{,}00\times10^{3}\cdot 2{,}50}{4} = 4{,}00\times10^{3}\cdot 0{,}625 = 2{,}500\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Momento de inércia e c para seção retangular (peguei b do enunciado; converti para metros):
b = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}050\\ \mathrm{m}, \qquad I = \frac{b h^{3}}{12}, \qquad c = \frac{h}{2}.
Substituo I e c na fórmula da tensão:
\sigma = \frac{M_{\max}\,c}{I} = \frac{M_{\max}\,\dfrac{h}{2}}{\dfrac{b h^{3}}{12}} = M_{\max}\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{12}{b h^{3}} = \frac{6\,M_{\max}}{b\,h^{2}}.
Portanto a tensão máxima por flexão é
\sigma = \frac{6\,M_{\max}}{b\,h^{2}}.
A condição de segurança é \sigma \le \sigma_{\text{adm}}. Igualando para achar o mínimo necessário:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{6\,M_{\max}}{b\,h^{2}} \quad\Rightarrow\quad h^{2} = \frac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{\frac{6\,M_{\max}}{b\,\sigma_{\text{adm}}}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • h: altura da seção (m) — incógnita;
  • M_{\max}: momento fletor máximo (N·m) — calculado no Passo 3;
  • b: largura da base (m) — do enunciado;
  • \sigma_{\text{adm}}: tensão admissível (N/m²) — do enunciado.

Passo 5

Substituição numérica (tudo em SI). Peguei \sigma_{\text{adm}} do enunciado e converti:
\sigma_{\text{adm}} = 8{,}50\\ \mathrm{MPa} = 8{,}50\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Já calculei M_{\max}=2{,}500\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m} e b=0{,}050\\ \mathrm{m}. Assim
h = \sqrt{\frac{6\cdot 2{,}500\times10^{3}}{0{,}050\cdot 8{,}50\times10^{6}}}.
Faço as contas passo a passo:
6\cdot 2{,}500\times10^{3} = 15{,}000\times10^{3} = 1{,}5\times10^{7}.
0{,}050\cdot 8{,}50\times10^{6} = 0{,}050\cdot 8{,}50\times10^{6} = 0{,}05\cdot 8{,}50\times10^{6} = 4{,}25\times10^{5}.
Agora a divisão:
\frac{1{,}5\times10^{7}}{4{,}25\times10^{5}} = \frac{1{,}5}{4{,}25}\times10^{2} \approx 0{,}352941176\times10^{1} = 0{,}0352941176.
Tirando raiz quadrada:
h \approx \sqrt{0{,}0352941176}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}1879\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros (mais prático para serralheria/carpintaria):
h \approx 0{,}1879\\ \mathrm{m} = 187{,}9\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para um valor prático (e garantindo folga de segurança), costuma-se escolher uma altura comercial maior que o mínimo calculado; por exemplo h = 190\\ \mathrm{mm} ou h = 200\\ \mathrm{mm}. Mas o mínimo teórico é o valor acima.

Resposta

h_{\min}=0{,}1879\\ \mathrm{m}\approx187{,}9\\ \mathrm{mm}

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