Um Engenheiro Agrícola está projetando uma pequena ponte de madeira para a passagem de carrinhos de mão sobre um canal de irrigação em uma fazenda. A ponte será feita de vigas de madeira de Eucalipto apoiadas, com um vão livre de
. Cada viga terá uma base de 50 mm e deve ser dimensionada para suportar uma carga concentrada máxima de
em seu centro, que simula o peso de um carrinho de mão carregado. Considerando que a tensão normal admissível para a madeira utilizada é de
, calcule a altura mínima (
) que a viga de madeira deve ter para suportar a carga com segurança.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números que temos):
- Vão livre:
. - Carga concentrada no centro da viga (representando o carrinho):
. - Base (largura) da seção retangular da viga:
. - Tensão normal admissível da madeira:
.
O que o enunciado pede:
- Calcular a altura mínima
da viga de madeira para que ela suporte a carga com segurança.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem jargões complicados): para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada no meio, a peça pode falhar por flexão (torção não é o caso aqui). A verificação de flexão usa a expressão da tensão de flexão máxima:
onde:
-
é a tensão de flexão no ponto mais solicitado (N/m²); -
é o momento fletor máximo (N·m); -
é a distância do eixo neutro até a fibra extrema (m); -
é o momento de inércia da seção (m⁴).
A condição de segurança é que a tensão calculada não ultrapasse a tensão admissível:
Vou usar essa fórmula, expor o
e
para uma seção retangular, e resolver para
. É o caminho mais direto e o que se usa numa prova.
Passo 3
Momento fletor máximo para viga simplesmente apoiada com carga central:
Primeiro ponho todas as unidades em SI. Peguei
do enunciado:
Logo
Passo 4
Momento de inércia e
para seção retangular (peguei
do enunciado; converti para metros):
Substituo
e
na fórmula da tensão:
Portanto a tensão máxima por flexão é
A condição de segurança é
. Igualando para achar o mínimo necessário:
Aqui cada símbolo significa:
-
: altura da seção (m) — incógnita; -
: momento fletor máximo (N·m) — calculado no Passo 3; -
: largura da base (m) — do enunciado; -
: tensão admissível (N/m²) — do enunciado.
Passo 5
Substituição numérica (tudo em SI). Peguei
do enunciado e converti:
Já calculei
e
. Assim
Faço as contas passo a passo:
Agora a divisão:
Tirando raiz quadrada:
Convertendo para milímetros (mais prático para serralheria/carpintaria):
Arredondando para um valor prático (e garantindo folga de segurança), costuma-se escolher uma altura comercial maior que o mínimo calculado; por exemplo
ou
. Mas o mínimo teórico é o valor acima.